供应商在遇到私营大型企业业务员不给申请付款的情况时，可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 内部沟通与协商：

   • 尝试与业务员直接沟通：首先，供应商可以尝试与负责付款的业务员进行直接沟通，了解付款延迟的具体原因，并尝试协商解决方案。有时候，付款延迟可能是由于内部流程繁琐、信息传递不畅或业务员个人疏忽等原因造成的，通过沟通可以迅速解决问题。
   • 联系企业其他相关部门或负责人：如果与业务员沟通无果，供应商可以联系该企业的财务部门、采购部门或更高层级的负责人，说明情况并请求协助解决付款问题。

2. 发送正式催款函：

   • 准备催款函：如果内部沟通未能解决问题，供应商可以准备一份正式的催款函，明确列出欠款金额、付款期限、逾期利息（如有约定）以及要求付款的具体日期。催款函应通过书面形式发送，并保留好发送凭证，如邮件发送记录、快递单据等。
   • 强调法律后果：在催款函中，供应商可以明确告知企业，如果逾期未付款，将采取法律手段维护自己的权益，包括但不限于提起诉讼、申请财产保全等。

3. 寻求法律援助与诉讼：

   • 咨询专业律师：如果催款函未能促使企业付款，供应商应咨询专业律师，了解自己的法律权益和可行的法律途径。作为专业律师，我可以为供应商提供详细的法律建议和诉讼策略。
   • 提起诉讼：在律师的指导下，供应商可以向法院提起诉讼，要求企业支付欠款及逾期利息。在诉讼过程中，供应商需要提供充分的证据证明欠款事实，如合同、发票、送货单、对账单等。
   • 申请财产保全：为了防止企业在诉讼期间转移财产，供应商可以在提起诉讼的同时申请财产保全，要求法院冻结企业的银行账户或其他财产。

4. 考虑其他法律手段：

   • 发送律师函：在提起诉讼前，供应商还可以通过律师发送律师函，以更正式和权威的方式要求企业付款。律师函通常具有更强的威慑力，有时能够促使企业主动履行付款义务。
   • 利用行业调解或仲裁机制：如果供应商和企业之间存在行业调解或仲裁协议，供应商还可以考虑通过这些机制来解决纠纷。行业调解或仲裁通常具有更快捷、更灵活的特点，有助于双方迅速达成和解。

在采取上述措施时，供应商需要注意以下几点：

• 保留好所有相关证据：包括合同、发票、送货单、对账单、沟通记录等，这些证据在后续的法律程序中至关重要。
• 及时行动：一旦发现付款延迟，供应商应尽快采取行动，避免逾期时间过长导致证据灭失或法律权益受损。
• 保持冷静与理性：在处理纠纷过程中，供应商应保持冷静与理性，避免采取过激行为或言辞，以免加剧矛盾或损害自己的形象。

如果供应商在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我作为专业律师，将竭诚为供应商提供法律支持和服务。