针对您提出的“私下签订送养收养协议的孩子在哪办理收养登记”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，需要明确的是，私下签订的送养收养协议并不具备法律效力，为了保障被收养人和收养人的合法权益，以及确保收养行为的合法性和规范性，必须按照法定程序办理收养登记。
关于收养登记的办理地点，根据《中国公民收养子女登记办法》的相关规定，具体分为以下几种情况：
收养社会福利机构抚养的查找不到生父母的弃婴、儿童和孤儿的：
- 办理地点：在社会福利机构所在地的收养登记机关（即县级人民政府民政部门）办理登记。
收养非社会福利机构抚养的查找不到生父母的弃婴和儿童的：
- 办理地点：在弃婴和儿童发现地的收养登记机关（即县级人民政府民政部门）办理登记。
收养生父母有特殊困难无力抚养的子女或者由监护人监护的孤儿的：
- 办理地点：在被收养人生父母或者监护人常住户口所在地（组织作监护人的，在该组织所在地）的收养登记机关（即县级人民政府民政部门）办理登记。
收养三代以内同辈旁系血亲的子女，以及继父或者继母收养继子女的：
- 办理地点：在被收养人生父或者生母常住户口所在地的收养登记机关（即县级人民政府民政部门）办理登记。
办理流程：
- 收养关系当事人应当亲自到收养登记机关办理成立收养关系的登记手续。夫妻共同收养子女的，应当共同到收养登记机关办理登记手续；一方因故不能亲自前往的，应当书面委托另一方办理登记手续，委托书应当经过村民委员会或者居民委员会证明或者经过公证。
- 收养人需要向收养登记机关提交收养申请书和一系列证件、证明材料，包括居民户口簿、居民身份证、婚姻状况和抚养教育被收养人的能力证明、身体健康检查证明等。
- 送养人也需要向收养登记机关提交相关证件和证明材料，如居民户口簿、居民身份证、同意送养的书面意见等。
- 收养登记机关在收到申请书及有关材料后，会进行审查，并在符合民法典规定条件的情况下，为当事人办理收养登记，发给收养登记证。
特别提醒：
- 私下签订送养收养协议不仅无法保障双方的合法权益，还可能涉及违法风险。因此，务必通过正规渠道和法定程序办理收养登记。
- 在办理收养登记过程中，如有任何疑问或需要进一步的帮助，请及时咨询当地县级人民政府民政部门或相关法律专业人士。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。