核心结论：在登记在先的抵押权未申请行权，其他抵押权人先申请行权的情况下，需根据抵押权是否已登记以及登记顺序等因素，分情况确定抵押权的实现顺序和方式。具体如下：

1. 若所有抵押权均已登记：

   • 实现顺序：根据《民法典》第四百一十四条，同一财产向两个以上债权人抵押的，拍卖、变卖抵押财产所得的价款，按照登记的时间先后确定清偿顺序。因此，即使登记在先的抵押权人未首先申请行权，其他抵押权人先申请的，也不影响登记在先的抵押权优先受偿。即登记在先的抵押权人仍可就抵押物变价款优先于登记在后的抵押权人受偿。
   • 特殊情况：若登记在先的抵押权人同意其他抵押权人先行受偿，或存在其他约定（如抵押权人之间达成协议，变更清偿顺序），则可能按照约定处理。但此类约定需不损害其他债权人的利益，且通常需以书面形式明确。

2. 若存在未登记的抵押权：

   • 已登记与未登记的抵押权：根据《民法典》第四百一十四条，抵押权已登记的，按照登记的时间先后确定清偿顺序；抵押权未登记的，按照债权比例清偿。因此，若登记在先的抵押权人未申请行权，而其他已登记的抵押权人先申请的，登记在先的抵押权仍优先于未登记的抵押权受偿。未登记的抵押权人只能就抵押物变价款中扣除已登记抵押权人优先受偿部分后的余额，按债权比例受偿。
   • 均未登记的抵押权：若所有抵押权均未登记，则无论申请行权的先后顺序如何，各抵押权人均按债权比例受偿。

3. 申请行权的程序性影响：

   • 申请行权的效力：抵押权人申请行权（如申请法院拍卖、变卖抵押物）是启动抵押权实现程序的方式之一。但申请行权的先后顺序，并不直接决定抵押权的清偿顺序。清偿顺序仍以抵押权的登记顺序或债权比例为准。
   • 程序性权利：若登记在先的抵押权人未及时申请行权，其他抵押权人先申请的，法院可能依法对抵押物进行处置。但处置所得价款仍需按照法定顺序分配。登记在先的抵押权人可在分配时主张其优先受偿权。

建议：

• 抵押权人：若您是登记在先的抵押权人，建议密切关注抵押物的状况及其他抵押权人的动态。若发现其他抵押权人可能先行申请行权，可及时与债务人或其他抵押权人沟通，或自行申请行权，以保障自身权益。
• 债务人：若您是债务人，且抵押物上存在多个抵押权，建议与各抵押权人协商，明确清偿顺序和方式，避免纠纷。若无法协商一致，可寻求法律途径解决。
• 其他抵押权人：若您是登记在后的抵押权人，即使先申请行权，也需尊重登记在先的抵押权的优先性。在处置抵押物时，应依法分配变价款，不得损害登记在先的抵押权人的利益。

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