对于公安机关出具的不予立案书，应当申请的是刑事复议，而非行政复议。以下是对此问题的详细分析：
一、不予立案决定的性质
不予立案决定是公安机关、人民检察院等司法机关依据刑事诉讼法作出的司法行为，它并非行政机关的行政行为。因此，这一决定不属于行政复议的受案范围。行政复议是针对行政机关的具体行政行为而设立的一种救济途径，旨在保护公民、法人或其他组织因行政机关的具体行政行为受到侵害时的合法权益。
二、不服不予立案决定的救济途径
虽然不予立案决定不能通过行政复议来寻求救济，但控告人仍有多种合法的救济途径可供选择：
向原决定机关申请复议：
- 控告人在收到《不予立案通知书》后7日内，有权向作出决定的公安机关申请复议。
- 公安机关应当在收到复议申请后的7日以内作出决定，并书面通知控告人。
向上级公安机关申请复核：
- 如果控告人对公安机关的不予立案复议决定仍然不服，可以在收到复议决定书后的7日以内，向上一级公安机关申请复核。
- 上级公安机关同样需要在收到复核申请后的7日以内作出决定。
向检察院申诉或申请立案监督：
- 对于检察机关直接受理的案件，或者控告人认为公安机关的复议、复核决定均不公正时，可以向人民检察院提出申诉，请求立案。
- 控告人也可以直接向人民检察院申请立案监督，以确保案件的公正处理。
提起自诉：
- 如果案件属于自诉案件的范围，即被害人有证据证明的轻微刑事案件，被害人可以直接向人民法院提起自诉。
三、申请复议的注意事项
- 准备充分的证据和理由：在申请复议时，控告人应当准备一份详细的复议申请书，其中应明确载明复议的请求、事实和理由，特别是要阐述为何认为公安机关应当立案的理由。
- 遵守法定时限：控告人应当在收到不予立案通知书后的7日以内提出复议申请，对复议决定不服的，也应当在收到复议决定书后的7日以内申请复核或向检察院申诉。
- 保持与公安机关的沟通：在申请复议的过程中，控告人应当保持与公安机关的沟通，以便及时了解案件进展和处理情况。
综上所述，对于公安机关出具的不予立案书，控告人应当申请刑事复议，并可以根据具体情况选择其他合法的救济途径来维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。