在孩子起诉父亲要求抚养费的案件中，父亲确实有权提出进行亲子鉴定，但这通常是在特定情境下才会发生。以下是对这一问题的详细解答：
一、一般情况下无需做亲子鉴定
在大多数抚养费纠纷案件中，如果父母双方对孩子的亲生关系没有异议，或者已经通过出生证明、户口簿、医疗记录等官方文件确认了亲子关系，那么通常不需要进行亲子鉴定。法院会依据这些现有证据和法律规定，直接判决抚养费的支付金额和支付方式。
二、存在亲子关系争议时，父亲可提出亲子鉴定
争议情形：
- 如果父亲对孩子的亲生关系有异议，或者母亲无法提供充分的证据（如出生证明、医疗记录等）来证明孩子的亲生父亲身份，此时父亲有权提出进行亲子鉴定以确认亲子关系。
- 在非婚生子女的抚养费纠纷中，由于父母未办理结婚登记，可能存在亲子关系不明确的情况，此时父亲同样可以提出亲子鉴定。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对亲子关系有异议且有正当理由的，父或者母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。在此类诉讼中，亲子鉴定是确认亲子关系的重要手段。
鉴定程序与费用：
- 亲子鉴定通常需要由具备相应资质的司法鉴定机构进行，以确保鉴定结果的准确性和公正性。
- 鉴定过程需要遵循严格的程序和标准，包括样本采集、实验室分析、结果解读等环节。
- 鉴定费用一般由申请方先行垫付，最终由败诉方承担（但具体承担方式可能因案件具体情况而异，也可能由双方协商分担）。
三、亲子鉴定的注意事项
自愿原则：
- 亲子鉴定应遵循自愿原则，任何一方不得强迫另一方进行鉴定。但如果一方拒绝配合且无正当理由，法院可能会根据现有证据作出对其不利的判决。
保护未成年人权益：
- 在进行亲子鉴定时，应充分考虑未成年人的感受和利益，避免对其造成不必要的心理伤害。法院和鉴定机构通常会采取措施，如保密处理、心理疏导等，以保护未成年人的权益。
四、法律后果
- 如果亲子鉴定结果支持原告主张的亲子关系，那么父亲将需要承担相应的抚养责任，包括支付抚养费等。
- 如果亲子鉴定结果排除了原告主张的亲子关系，那么原告将需要承担举证不能的法律后果，可能无法获得抚养费的支持。
综上所述，在孩子起诉父亲要求抚养费的案件中，如果父亲对亲子关系有异议且无法通过其他证据排除其可能性时，他有权提出进行亲子鉴定以确认亲子关系。但这一决定应基于充分的事实和法律依据，并遵循自愿原则和保护未成年人权益的原则。