结论：施工合同工期中农民工资保函到期而施工未完成时，是否需要继续包函以及由谁负责审核，需根据具体情况和合同约定来判断。一般来说，若合同有明确约定，则按合同约定执行；若合同无明确约定，则可能需根据相关法律法规和行业惯例，由发包人或承包人提出申请，并由相关机构（如银行或担保公司）进行审核。

详细分析：

1. 合同约定优先：

   • 在施工合同中，关于农民工资保函的续期或重新开具，首先应查看合同中是否有明确约定。如果合同中明确规定了保函的有效期、续期条件以及审核责任方，那么双方应严格按照合同约定执行。
   • 例如，合同可能规定，在保函到期前一定时间内，承包人需向发包人提交续期申请，并由发包人审核同意后，由承包人负责办理保函的续期手续。

2. 无合同约定时的处理：

   • 如果合同中没有明确约定保函的续期或重新开具事宜，那么双方可能需要根据相关法律法规和行业惯例来协商处理。
   • 在这种情况下，通常的做法是，由承包人向发包人提出续期或重新开具保函的申请，并附上相关证明材料（如施工进度报告、工资支付情况等）。发包人收到申请后，会根据实际情况进行审核，并决定是否同意续期或重新开具保函。
   • 审核责任方可能因具体情况而异，但一般来说，发包人作为工程的业主方，对工程的进度和资金支付情况有更直接的了解，因此可能承担主要的审核责任。然而，在某些情况下，发包人也可能委托第三方机构（如监理单位或咨询公司）进行审核。

3. 法律法规和行业惯例的参考：

   • 在处理此类问题时，还应参考相关的法律法规和行业惯例。例如，一些地区可能出台了关于农民工资保函的具体管理办法或规定，明确了保函的开具、续期、审核等流程和要求。
   • 此外，行业惯例也可能对保函的处理产生影响。例如，在某些行业或地区，可能形成了较为成熟的保函处理流程和模式，双方可以参照这些流程和模式来协商处理。

建议：

• 在处理此类问题时，建议双方首先仔细审查施工合同中的相关条款，明确各自的权利和义务。
• 如果合同中没有明确约定或约定不明确，双方应积极协商，寻求合理的解决方案。在协商过程中，可以参考相关法律法规和行业惯例，以确保解决方案的合法性和合理性。
• 如果双方无法达成一致意见，可以考虑寻求法律途径解决争议。在此过程中，建议咨询专业律师的意见，以更好地维护自身权益。

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