机关单位的聘用人员在存在严重违反单位规章制度、不能胜任工作且经培训或调岗后仍不能胜任、严重失职或营私舞弊给单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形时，可以被开除。以下是对这些情形的详细解释：
严重违反单位规章制度：
- 机关单位通常会制定一系列规章制度来规范聘用人员的行为。如果聘用人员严重违反这些规章制度，如长期旷工、严重违反工作纪律、泄露单位机密等，单位有权依据规章制度的规定，对聘用人员进行开除处理。
不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任：
- 如果聘用人员因能力不足或其他原因无法胜任当前工作，单位通常会提供培训或调整工作岗位的机会。然而，如果经过培训或调整后，聘用人员仍然无法胜任工作，单位有权考虑开除。这种情况下，单位需要确保已经为聘用人员提供了合理的培训或调整机会，并保留相关证据。
严重失职，营私舞弊，给单位造成重大损害：
- 聘用人员在工作中如果因严重失职或营私舞弊行为给单位造成重大损害，如因疏忽导致重大事故、利用职务之便谋取私利等，单位有权立即开除该聘用人员，并可能追究其法律责任。
被依法追究刑事责任：
- 如果聘用人员因违法行为被依法追究刑事责任，如贪污受贿、挪用公款等，单位有权根据相关法律法规和单位规章制度，对聘用人员进行开除处理。这种情况下，单位需要确保已经收到相关法律文书，并依法进行开除程序。
在开除聘用人员时，机关单位需要遵循相关法律法规和单位规章制度的规定，确保开除程序的合法性和合规性。同时，单位也需要保留相关证据，以备在可能出现的劳动争议中提供证明。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。