在经济性裁员过程中，工会应履行监督、协商、反馈等职责，且企业需向劳动行政部门报告裁员方案，而非向工会“申请”。具体分析如下：

1. 工会的核心职责
   根据《劳动合同法》第四十一条、第四十三条，工会在经济性裁员中的角色是监督与协商主体，而非审批机关。具体职责包括：

   • 监督企业裁员合法性：核查企业是否符合经济性裁员条件（如经营困难、转产重大技术革新等），是否履行提前30日向工会或全体职工说明情况、听取意见的程序。
     
   • 参与协商裁员方案：企业需与工会就裁员时间、步骤、补偿标准等协商，工会可提出修改意见。若企业未建立工会，应通过职工代表大会或其他民主形式履行程序。
     
   • 反馈职工诉求：工会需将职工意见反馈给企业，并监督企业是否依法支付经济补偿（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
     
   • 制止违法行为：若企业未履行法定程序或裁员违法（如未优先留用特定人员、未支付补偿等），工会可要求企业纠正，或向劳动行政部门投诉。

2. 企业需向劳动行政部门报告，而非向工会“申请”

   • 报告义务：企业完成与工会协商后，需将裁员方案（包括裁员依据、范围、时间、补偿标准等）向劳动行政部门报告，接受行政监督。
     
   • 工会无审批权：工会仅能通过协商、监督影响裁员过程，但无权批准或否决裁员方案。劳动行政部门亦不直接“审批”，而是监督企业是否依法履行程序。
     

3. 工会未履行职责的后果
   若工会未依法监督或企业未履行报告义务，可能面临以下风险：

   • 裁员被认定违法：职工可申请劳动仲裁，要求企业继续履行合同或支付赔偿金（标准为经济补偿的2倍）。
     
   • 行政处罚：劳动行政部门可责令企业限期整改；逾期未改的，处以罚款（如《劳动保障监察条例》第三十条）。
     

建议：若您所在企业涉及经济性裁员，或工会未依法履行职责，可进一步向我咨询具体操作流程及风险防范措施。