关于您提出的“老人离世后，第二存款人是否可根据第二存款人协议所设条件全部取出存款”的问题，这主要涉及到已故存款人存款的提取规定。以下是我根据最新政策为您提供的详细解答：

首先，需要明确的是，目前并没有直接提及“第二存款人协议”的相关政策。在常规情况下，当存款人离世后，其存款的提取主要遵循的是继承法以及金融监管机构的相关规定。

根据国家金融监督管理总局和中国人民银行联合发布的《关于优化已故存款人小额存款提取有关要求的通知》（金规〔2024〕6号），对于已故存款人的小额存款提取，有以下几点关键信息：

1. 简化提取限额提高：已故存款人小额存款简化提取的账户限额已由最低1万元统一提高至5万元。这意味着，如果已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币，继承人无需提交公证书就可一次性提取已故存款人存款及利息。

2. 提取范围扩大：简化提取的范围不仅包括银行存款，还扩大了至黄金积存产品以及代理销售的国债、理财产品，这些产品的本金和实际收益一并计入上述5万元的提取限额内。

3. 提取所需材料：继承人办理已故存款人小额存款提取业务，通常需要提交能够证明已故存款人死亡事实的材料、提取申请人的有效身份证件、提取申请人亲笔签名的承诺书，以及能够证明亲属关系的材料或指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱。

4. 特殊情况处理：对于已故存款人账户汇入的丧葬费、抚恤金，这些资金不计入5万元的账户限额，可以全额简化提取。

针对您的情况：

• 如果老人与第二存款人之间有明确的、且符合法律规定的协议，并且该协议被银行认可为有效的提取依据，那么理论上第二存款人可能根据协议条件提取存款。但这种情况较为特殊，且需要具体协议内容符合相关法律法规和银行规定。
• 在大多数情况下，如果老人离世后，其存款的提取将遵循上述继承法和金融监管机构的规定。如果存款金额在5万元以内，且继承人能够提供必要的材料，那么可以简化提取流程。

建议：

• 如果您与老人之间有关于存款提取的特殊协议，建议您先咨询银行或法律专业人士，了解该协议是否有效以及如何执行。
• 如果老人离世后，您作为继承人需要提取其存款，请准备好相关材料，并遵循银行和金融监管机构的规定进行操作。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。