结论：租客与中介的租房合同到期后不搬走，房东直接与租客签订新的租赁合同在特定条件下是合法的，但需注意原租客不搬走可能涉及的法律问题及处理方式。
一、房东与租客直接签订新租赁合同的合法性
原合同到期后的法律状态：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百三十三条，租赁期限届满，承租人应当返还租赁物。若原租客在合同到期后不搬走，且未与房东达成续租协议，则原租客的行为构成违约，房东有权要求其搬离。
- 若房东在原合同到期后，直接与租客（原承租人）签订新的租赁合同，且双方意思表示真实，合同内容合法，则该新合同是合法的，受法律保护。
新合同签订的前提：
- 房东在签订新合同前，应确保原租客已搬离或已就续租事宜与原租客达成一致。若原租客未搬离且未达成续租协议，房东直接签订新合同可能涉及与原租客的纠纷，需谨慎处理。
二、原租客不搬走的法律问题及处理方式
原租客不搬走的法律性质：
- 原租客在合同到期后不搬走，且未与房东达成续租协议，构成违约行为。房东有权要求其搬离，并可追究其违约责任。
房东的处理方式：
- 协商解决：首先尝试与原租客进行友好协商，了解其不愿搬离的原因，并寻求双方都能接受的解决方案。例如，可以给予一定的宽限期让原租客寻找新的住所，或者协助其解决搬迁过程中的困难。
- 发送催告函：若协商无果，房东可以书面形式向原租客发出催告函，要求其限期搬离。催告函应明确搬离日期、法律后果及可能采取的措施等信息，以正式记录并提醒原租客履行义务。
- 法律途径：若原租客仍拒不搬离，房东有权通过法律途径维护自身权益。可以向人民法院提起诉讼，请求判令原租客立即搬离并赔偿因逾期占用房屋造成的损失。在诉讼过程中，需提供租赁合同、催告函等证据支持主张。
三、房东与新租客签订合同的注意事项
确保房屋权属清晰：
- 房东在签订新租赁合同前，应确保房屋权属清晰，无争议。若房屋存在共有、抵押、查封等情况，需提前告知新租客，并确保新租客知晓并接受这些情况。
明确合同条款：
- 房东与新租客签订合同时，应明确租赁期限、租金、押金、支付方式、维修责任等条款，以避免后续纠纷。
办理相关手续：
- 若房屋租赁需办理备案登记等手续，房东应协助新租客办理相关手续，确保租赁合同的合法性和有效性。
建议：在处理此类问题时，房东应谨慎行事，确保自身权益不受损害。若遇到复杂情况或不确定如何处理时，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。