当市场监管部门要求限期提供证据，而投诉人却不予提供时，案件的办理会受到一定影响，但市场监管部门仍会依据相关法律法规和程序进行推进。以下是对此情况的详细解答：
一、法律责任与后果
行政处罚风险：
- 投诉人若拒不提供市场监管部门要求的证据，可能面临行政处罚。根据《中华人民共和国行政处罚法》及相关市场监管法规，这种行为可能被视为不配合调查，从而受到警告，并可能被处以罚款。罚款金额根据情节轻重而定，严重情况下可能高达数万元甚至更多。
信用影响：
- 拒不提供证据的行为还可能对投诉人的信用造成负面影响。市场监管部门可能将其列入经营异常名录或严重违法失信名单，导致信用评级下降。这将影响投诉人在政府采购、工程招投标、国有土地出让等方面的资格和机会。
司法强制执行与刑事责任：
- 在极端情况下，如果投诉人持续拒不履行提供证据的义务，市场监管部门有权依法申请人民法院强制执行。法院可能采取查询、冻结、划拨存款，查封、扣押、拍卖财产等措施。此外，如果投诉人以暴力、威胁等方法阻碍执法人员依法执行职务，还可能涉嫌妨碍公务罪，面临刑事处罚。
二、市场监管部门的应对措施
视为拒绝配合调查：
- 市场监管部门会将投诉人逾期不提供或拒绝提供相关材料的行为视为拒绝配合调查工作，这将对案件的进一步处理产生不利影响。
采取进一步调查措施：
- 市场监管部门不会因投诉人拒不提供证据而停止调查。相反，它们可能会通过其他途径收集证据，如公告送达、申请法院强制执行、向其他相关部门或机构调取资料等，以确保调查工作的顺利进行。
影响案件处理进度和结果：
- 投诉人拒不提供证据将直接影响案件的处理进度和结果。由于缺乏关键证据，市场监管部门可能难以对案件作出准确判断，这可能导致案件处理时间延长或处理结果对投诉人不利。
三、建议与提醒
积极配合调查：
- 投诉人在收到市场监管部门要求提供证据的通知时，应充分认识到配合调查的重要性，并积极按时提交所需资料。这有助于维护自身权益，避免不必要的法律风险和经济损失。
寻求法律帮助：
- 如果投诉人对提供证据的要求存在疑问或困难，可以寻求法律帮助或咨询专业律师。律师可以提供法律意见和指导，帮助投诉人更好地理解和应对市场监管部门的调查要求。
了解法律后果：
- 投诉人应了解拒不提供证据可能面临的法律后果，包括行政处罚、信用影响、司法强制执行等。这有助于增强投诉人的法律意识，促使其积极配合调查工作。
综上所述，当市场监管部门要求限期提供证据而投诉人不予提供时，案件的办理将受到一定影响。但市场监管部门仍会依据相关法律法规和程序进行推进，并可能采取一系列措施来确保调查工作的顺利进行。因此，投诉人应积极配合调查工作，按时提交所需资料，以避免不必要的法律风险和经济损失。