支付的违约利息延迟金需要开发票，且这种做法是合法的。以下从不同角度进行分析：

1. 从发票管理规定角度：

   • 根据《中华人民共和国发票管理办法》的规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。违约利息延迟金，本质上属于因一方违约而向另一方支付的赔偿性款项，但它仍然与经营业务相关联，是经营活动中因违约行为而产生的经济往来。因此，按照发票管理办法，收款方有义务开具发票。

2. 从税务合规角度：

   • 违约利息延迟金作为收入的一部分，对于收款方而言，应当纳入其应税收入范畴，并依法缴纳相应的税款。开具发票是税务合规的重要环节，它有助于确保税款的准确计算和及时缴纳，避免税务风险。对于付款方而言，取得发票是其进行税前扣除、抵扣进项税额等税务处理的必要依据。

3. 从合同履行与纠纷预防角度：

   • 在合同中明确约定违约利息延迟金的支付条款，并规定开具发票的相关事宜，有助于双方明确各自的权利和义务，减少因理解不一致而引发的纠纷。同时，开具发票也是双方履行合同义务、保持交易透明度和诚信度的重要体现。