结论：私生子是否享有继承权，需根据具体情况判断，但私生子在法律上与婚生子女享有同等的继承权。老公立遗嘱给儿子以及老公和小三供楼的行为，并不影响私生子基于法定继承或遗嘱继承可能享有的权利，但具体能否继承及继承份额会受多种因素影响。以下从不同角度详细分析：

一、私生子的法律地位与继承权

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，这意味着在继承权方面，私生子与婚生子女没有区别。无论父母是否结婚，私生子都有权继承父母的遗产，这是法律赋予的基本权利。

二、遗嘱对继承权的影响

1. 遗嘱的效力：如果老公立有遗嘱，并且遗嘱内容合法有效，那么遗嘱中指定的继承人将按照遗嘱的约定继承遗产。但遗嘱只能处分遗嘱人个人所有的财产，对于夫妻共同财产，遗嘱人只能处分自己所有的部分。

2. 遗嘱与法定继承的关系：如果遗嘱中未提及私生子，或者遗嘱部分无效（如处分了夫妻共同财产中属于另一方的部分），那么私生子仍然有权按照法定继承的规定继承遗产。法定继承中，私生子与婚生子女同为第一顺序继承人。

三、老公和小三供楼对继承权的影响

1. 供楼行为的性质：老公和小三供楼的行为，如果使用的是老公的个人财产，那么这并不影响私生子的继承权。因为供楼行为本身并不改变房产的归属，也不影响继承权的行使。

2. 房产的归属：如果房产是老公和小三共同购买的，并且登记在两人名下，那么房产可能属于两人的共同财产。在这种情况下，私生子只能继承老公在房产中所占的份额（如果有遗嘱且遗嘱有效，则按照遗嘱继承；如果没有遗嘱或遗嘱无效，则按照法定继承）。

四、具体案例分析

假设老公立有遗嘱，将个人所有的房产全部留给婚生儿子，但房产实际上是老公和小三共同供楼的，且房产登记在老公名下。在这种情况下：

• 如果供楼资金全部来自老公的个人财产，那么房产属于老公的个人财产，私生子无权基于供楼行为主张房产份额，但仍有权按照法定继承（如果遗嘱无效或未涉及全部财产）或遗嘱中未处分的部分继承遗产。
• 如果供楼资金部分或全部来自小三，且能够证明这一点，那么小三可能对房产享有部分权益。但这并不影响私生子作为法定继承人的权利，只是在实际分割遗产时，需要考虑小三的权益。

五、建议与注意事项

1. 了解遗产范围：在处理继承问题时，首先要明确遗产的范围，包括房产、存款、股票、基金等所有财产。

2. 收集证据：为了维护自己的合法权益，私生子（或其法定代理人）应收集相关证据，如出生证明、亲子关系证明、遗嘱（如果有）等。

3. 协商或诉讼：在继承问题上，各方可以尝试协商解决。如果协商不成，可以向法院提起诉讼，由法院根据法律规定和实际情况作出判决。

4. 咨询专业律师：由于继承问题涉及复杂的法律关系和财产权益，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。

如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。