结论前置：私生子（即非婚生子女）在法律上享有与婚生子女同等的继承权。这一权利在遗嘱有效且未明确排除其继承权时依然成立；若遗嘱无效或部分无效，非婚生子女则有权依据法定继承顺序参与遗产分配。以下是对这一结论的详细分析：
一、遗嘱有效的情况
在遗嘱有效的情况下，非婚生子女的继承权需根据遗嘱内容具体确定：
遗嘱指定非婚生子女继承：
- 若遗嘱中明确指定非婚生子女为继承人，则其有权按照遗嘱的条款继承相应遗产。这体现了财产所有人对自己财产的自主处分权，同时也保障了非婚生子女的合法权益。例如，遗嘱中明确写明“将我的房产和存款由我的非婚生子女XXX继承”，那么该非婚生子女就有权按照遗嘱继承这些财产。
遗嘱未指定非婚生子女继承：
- 若遗嘱已对财产进行明确处分，且未涉及非婚生子女，由于遗嘱继承的效力优先于法定继承，非婚生子女在此情况下一般不能依据法定继承来继承财产。但这并不意味着他们被剥夺了继承权，只是在有有效遗嘱且未包含他们的情况下，需尊重遗嘱人的最后真实意愿。例如，遗嘱中只指定了婚生子女为继承人，未提及非婚生子女，那么非婚生子女就不能依据遗嘱继承财产，但他们的法定继承权并未被剥夺，只是在有有效遗嘱的情况下不适用。
二、遗嘱无效或部分无效的情况
遗嘱可能因多种原因被认定无效或部分无效，如遗嘱人不具有完全民事行为能力、遗嘱内容违反法律强制性规定、遗嘱受欺诈或胁迫所立等。在此情况下，非婚生子女的继承权将按照以下方式处理：
遗嘱全部无效：
- 若遗嘱被认定全部无效，遗产将按照法定继承来处理。此时，非婚生子女作为第一顺序法定继承人，与婚生子女享有平等的继承权，有权参与遗产分配。例如，遗嘱因遗嘱人立遗嘱时精神状况不正常而被认定无效，那么遗产将按照法定继承顺序分配，非婚生子女和婚生子女都有权继承。
遗嘱部分无效：
- 若遗嘱只是部分内容无效，无效部分所涉及的遗产将按照法定继承办理。对于这部分遗产，非婚生子女有权参与继承；而遗嘱的有效部分仍应按照遗嘱进行继承。例如，遗嘱中有一部分财产处分违反了法律规定而被认定无效，那么这部分财产将按照法定继承分配，非婚生子女有权继承；而遗嘱中其他有效的财产处分则按照遗嘱执行。
法律建议：在处理涉及非婚生子女继承权的问题时，应充分考虑遗嘱的有效性及其内容。如果遗嘱有效且未明确排除非婚生子女的继承权，那么非婚生子女有权按照遗嘱继承财产；如果遗嘱无效或部分无效，那么非婚生子女则有权依据法定继承顺序参与遗产分配。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。