老公的私生子在法律上享有继承权。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的继承顺序中，第一顺序包括配偶、子女、父母。这里的“子女”明确包括了婚生子女、非婚生子女（即私生子）、养子女和有扶养关系的继子女。因此，从法律层面来看，私生子与婚生子女在继承权上享有同等的地位。
二、继承权的行使条件
身份确认：私生子要行使继承权，首先需要确认其与被继承人（即老公）之间的亲子关系。这通常需要通过DNA鉴定等方式进行证明，以确保其法律身份的明确性。
符合法定继承顺序：在存在合法有效的遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，应优先按照这些文件的内容进行财产分配。若不存在此类文件，则按照法定继承顺序进行。私生子作为第一顺序继承人之一，有权与其他第一顺序继承人共同继承遗产。
无丧失继承权情形：如果私生子存在故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人、遗弃或虐待被继承人且情节严重等情形，将依法丧失继承权。这是法律对继承权行使的一种限制，以确保继承的公正性和合法性。
三、特殊情况下的继承权处理
遗嘱继承：如果被继承人立有合法有效的遗嘱，并明确指定了遗产的分配方式，那么私生子是否能继承遗产将取决于遗嘱的具体内容。如果遗嘱中未提及私生子或明确表示其无权继承，则私生子不能通过遗嘱继承获得遗产。但在此情况下，若私生子生活困难且无劳动能力，根据法律规定，仍可通过法定程序主张必要的遗产份额，以保障其基本生活需求。
转继承与代位继承：在特定情形下，如被继承人子女先于被继承人死亡，私生子可能通过转继承或代位继承的方式参与遗产分配。这类情况需结合具体法律关系进行判断，以确保继承的合法性和公正性。
四、实际案例应用
以具体案例为例，若某人的生父去世且生前未立遗嘱，其非婚生子女（私生子）就有权与婚生子女等其他第一顺序继承人共同继承生父的遗产。在实际操作中，应依据法律规定和实际情况，公平合理地分配遗产份额，确保各继承人的合法权益得到充分尊重和实现。
总结与建议：
私生子在法律上明确享有对遗产的继承权，这一权利受到法律的严格保护。在遗产继承过程中，应确保私生子的合法权益得到充分尊重和实现。如果面临相关法律问题或纠纷，建议及时咨询专业律师（即我本人，刘云海律师），以便更好地维护自己的合法权益。