当遇到变更羁押期限超时的情况时，被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人等有权采取一系列措施来维护合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、明确法律规定与羁押期限
首先，需要了解我国法律对羁押期限的明确规定。《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释详细规定了不同诉讼阶段（如侦查阶段、审查起诉阶段和审判阶段）的最长羁押时间。若羁押超过这些法定期限，即构成超期羁押，这是不合法的，需要采取措施进行纠正。
二、超期羁押的应对措施
申请变更强制措施：
- 被羁押人或其辩护人可以依据《刑事诉讼法》的相关规定，向办案机关（如公安机关、人民检察院或人民法院）申请取保候审、监视居住等非羁押性强制措施。
- 申请时，需提交书面材料，详细说明超期羁押的事实及理由，并提供相关证据支持，如羁押期限的计算、相关法律文书的复印件等。
提出申诉或控告：
- 若办案机关未予答复或拒绝变更强制措施，被羁押人或其辩护人有权向同级人民检察院提出申诉或控告。
- 人民检察院将依法进行监督，要求办案机关说明超期羁押的理由，并视情况作出纠正决定，如要求办案机关立即释放被羁押人或变更强制措施。
寻求法律援助：
- 被羁押人或其家属可联系律师或法律援助机构，获取专业法律帮助。
- 律师可协助分析案情，准备申请材料，并代表被羁押人与办案机关沟通协商，以维护其合法权益。
利用国家赔偿制度：
- 若最终确认存在超期羁押且导致人身自由损害，被羁押人有权依据《国家赔偿法》申请国家赔偿。
- 需通过司法程序确认违法事实后，向责任机关提出赔偿请求，赔偿金额将按照国家上年度职工日平均工资计算。
三、特殊情况处理：羁押期限超过刑期
若羁押期限在判决后被发现已经超过了应判处的刑期，那么应采取以下措施：
折抵刑期：
- 根据《中华人民共和国刑法》第四十七条的规定，判决执行以前先行羁押的，羁押一日折抵刑期一日。这意味着，如果被告人在判决前已经被羁押，那么这部分羁押时间应当折抵相应的刑期。
立即释放：
- 如果在判决后发现羁押期限已经超过了应判处的刑期，那么被告人应立即被释放，以保障其人权和司法公正。
四、注意事项
- 及时行动：发现超期羁押后应尽快采取行动，避免延误维权时机。
- 保留证据：妥善保存与案件相关的所有文件资料，包括拘留通知书、逮捕决定书等法律文书，以便在申请变更强制措施或提出申诉时提供证据。
- 合法维权：全程遵循法律程序，避免采取过激行为影响案件处理。通过合法途径维护自己的权益，是确保问题得到妥善解决的关键。
综上所述，面对变更羁押期限超时的情况，被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人应了解法律规定，采取合适的应对措施，并遵循法律程序进行维权。