结论：兼职送外卖伤残鉴定为10级后，单位是否还能申报相关事宜需分情况讨论，主要取决于伤残性质、单位性质及申报目的，以下为具体分析：
若伤残属于工伤范畴，单位需履行申报义务
根据《工伤保险条例》第14条，劳动者在工作时间、工作场所因工作原因受伤，或上下班途中遭受非本人主要责任的交通事故等情形，均构成工伤。即使您是兼职人员，只要与单位存在劳动关系（需通过劳动合同、工资发放记录等证明），单位就应在事故发生后30日内向社保部门申报工伤认定。若单位未申报，您本人或近亲属可在1年内直接申请。伤残鉴定10级属于工伤范畴的，单位需配合您享受工伤保险待遇（如一次性伤残补助金、医疗费报销等），若单位未缴纳工伤保险，则需自行承担全部赔偿。
若伤残属于第三方侵权导致，单位无申报义务但需配合
若您的伤残是因交通事故（如被其他车辆撞伤）等第三方侵权行为导致，且您在送外卖过程中无过错，此时伤残赔偿需通过侵权责任纠纷解决。单位无需为您申报工伤，但需配合您提供劳动关系证明、工作记录等材料，以便您向侵权方主张赔偿（如医疗费、误工费、残疾赔偿金等）。若单位未尽到安全保障义务（如未提供安全培训、防护设备），可能需承担部分补充责任。
若单位未申报且拒绝赔偿，您可通过法律途径维权
若单位以“兼职人员不享受工伤待遇”为由拒绝申报或赔偿，您需注意：兼职人员与单位的关系可能被认定为劳动关系（如受单位管理、按单位要求工作）或劳务关系（如自由安排工作时间）。若为劳动关系，单位必须申报工伤；若为劳务关系，您可直接起诉单位要求人身损害赔偿（标准可能高于工伤赔偿）。建议您收集工作证、工资流水、事故现场证据等材料，向劳动仲裁机构或法院主张权利。
温馨提示：伤残鉴定10级意味着您存在器官部分缺损或畸形、轻度功能障碍等情况，治疗和康复需一定费用。无论单位是否申报，您都应优先治疗并保留所有医疗票据。若对单位态度或赔偿标准有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况（如是否签订合同、事故细节等）进一步分析。