结论前置：病假康复上班后劳动合同到期，单位并非绝对不可以续签劳动合同，但也不能随意不续签，需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、单位可以合法不续签劳动合同的情形
劳动合同到期自然终止：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，如果劳动合同中明确约定了合同期限，且该期限在员工病假康复上班后到期，那么单位有权选择不续签劳动合同，但需按照法律规定支付经济补偿。
员工存在法定过错：如果员工在病假期间或康复上班后存在严重违反单位规章制度、严重失职、营私舞弊给单位造成重大损害等法定过错情形，单位有权依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但这种情况与劳动合同到期不续签在性质上有所不同，它属于单位主动解除劳动合同的情形。不过，若员工在病假康复上班后仍存在此类过错，且合同恰好到期，单位也可能选择不续签，并以此为由说明不续签的合理性。
二、单位不得随意不续签劳动合同的情形
员工处于医疗期：如果员工在劳动合同到期时仍处于医疗期内，根据《劳动合同法》第四十五条的规定，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，如果员工因病需要继续治疗，且医疗期尚未结束，单位不得以劳动合同到期为由不续签劳动合同。否则，单位的行为将构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。
单位未提前通知：虽然《劳动合同法》并未明确规定单位在劳动合同到期前必须提前通知员工是否续签，但根据诚实信用原则和劳动法的立法精神，单位在决定不续签劳动合同时，应当提前告知员工，以便员工有足够的时间寻找新的工作机会。如果单位未提前通知且无正当理由不续签劳动合同，可能被视为对员工权益的侵害，员工有权要求单位承担相应的赔偿责任。不过，这一点的法律明确性可能因地区和具体案情而有所不同，需结合实际情况判断。
三、特殊情况下的处理建议
双方协商续签：在劳动合同到期前，单位和员工可以就续签劳动合同进行协商。如果双方达成一致意见，可以签订新的劳动合同，继续履行劳动关系。
员工要求续签：如果员工希望继续留在单位工作，且不存在法定不得续签的情形，单位应当考虑员工的合理诉求，并就是否续签劳动合同进行积极回应。如果单位无正当理由拒绝续签，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。
总结与建议：病假康复上班后劳动合同到期，单位是否可以不续签劳动合同需根据具体情况判断。如果员工不存在法定过错且未处于医疗期，单位有权选择不续签劳动合同，但需按照法律规定支付经济补偿。如果员工处于医疗期或存在其他特殊情况，单位则不得随意不续签劳动合同。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。