被告的行政机关在被诉后，原则上不得自行向原告、第三人和证人收集证据，但在特定情况下，如涉及国家利益、公共利益或他人合法权益的事实认定，或涉及程序性事项时，可能允许补充证据，但需严格遵循法律程序和规定。以下是对这一问题的详细分析：

1. 一般原则：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第三十五条的规定，在诉讼过程中，被告及其诉讼代理人不得自行向原告、第三人和证人收集证据。这一规定旨在确保行政诉讼的公正性和客观性，防止行政机关在诉讼过程中利用其优势地位收集不利于原告的证据。

2. 例外情况：

   • 涉及国家利益、公共利益或他人合法权益的事实认定：在行政诉讼中，如果案件涉及国家利益、公共利益或他人合法权益，且这些利益的保护需要进一步查明事实，被告行政机关可能在法院的允许下补充相关证据。但这种情况下的证据收集必须严格遵循法律程序，且不得侵犯原告的合法权益。
   • 涉及程序性事项：对于某些程序性事项，如管辖权异议、诉讼中止等，被告行政机关可能需要提供相关证据以支持其主张。这些证据的收集通常不受上述限制，但同样需要遵循法律程序。

3. 法律程序和规定：

   • 法院允许：即使存在上述例外情况，被告行政机关在收集证据前也必须获得法院的允许。法院会根据案件的具体情况和法律规定，决定是否允许被告补充证据。
   • 证据的合法性和关联性：被告行政机关补充的证据必须合法、真实且与案件具有关联性。否则，法院将不予采纳。
   • 不得侵犯原告权益：在补充证据的过程中，被告行政机关必须尊重原告的合法权益，不得采取非法手段或侵犯原告隐私等方式收集证据。

4. 实践中的注意事项：

   • 及时沟通：被告行政机关在认为需要补充证据时，应及时与法院沟通，说明补充证据的必要性和合法性。
   • 严格遵循法律程序：在补充证据的过程中，被告行政机关必须严格遵循法律程序，确保证据的合法性和有效性。
   • 尊重原告权益：被告行政机关在补充证据时，应尊重原告的合法权益，避免对原告造成不必要的困扰或损害。

总结来说，被告行政机关在被诉后原则上不得自行收集证据，但在涉及国家利益、公共利益或他人合法权益的事实认定，或涉及程序性事项时，可能允许在法院的允许下补充相关证据。然而，这一过程必须严格遵循法律程序和规定，确保证据的合法性和有效性，同时尊重原告的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。