双方纠纷和解后一方撤诉，公安机关一般会根据案件所处的具体阶段和性质来作出相应处理，以下是详细分析：

1. 案件处于治安调解阶段

   • 若双方在公安机关主持下达成和解并履行完毕：根据《治安管理处罚法》第九条，对于因民间纠纷引起的打架斗殴或者损毁他人财物等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。经调解，当事人达成协议并履行的，公安机关不予处罚。此时，若一方撤诉（实际应为放弃追究对方责任的意思表示），公安机关会制作调解协议书，双方签字确认后，案件即告终结，公安机关不再对涉案人员进行处罚。
   • 若调解未达成协议或者达成协议后不履行的：公安机关会依法对违反治安管理行为人给予处罚，并告知当事人可以就民事争议依法向人民法院提起民事诉讼。但在此情境下，由于双方已和解并撤诉（或放弃追究），故不涉及此后续处理。

2. 案件已进入刑事立案阶段，但尚未进入审判程序

   • 若双方达成和解，且符合刑事和解条件：根据《刑事诉讼法》第二百八十八条，对于公诉案件，犯罪嫌疑人、被告人真诚悔罪，通过向被害人赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解，被害人自愿和解的，双方当事人可以和解。对于达成和解协议的案件，公安机关可以向人民检察院提出从宽处理的建议。此时，若一方撤诉（实际应为向公安机关提出撤销案件或不起诉的申请，并经公安机关、检察机关审查同意），公安机关会撤销案件或者将案件移送检察机关审查起诉时提出从宽处理建议。
   • 需注意：并非所有刑事案件都能和解。只有因民间纠纷引起，涉嫌刑法分则第四章、第五章规定的犯罪案件，可能判处三年有期徒刑以下刑罚的，或者除渎职犯罪外的可能判处七年有期徒刑以下刑罚的过失犯罪案件，且犯罪嫌疑人、被告人在五年以内未曾故意犯罪的，才适用刑事和解程序。

3. 案件已进入审判阶段

   • 若双方在审判阶段达成和解，原告申请撤诉：根据《民事诉讼法》相关规定，宣判前，原告申请撤诉的，是否准许，由人民法院裁定。若法院裁定准许撤诉，则案件终结，公安机关（在此阶段主要涉及的是案件移送或协助执行等，不直接处理撤诉事宜）不再直接参与。但需注意的是，若案件涉及刑事犯罪，即使原告撤诉，法院也可能根据案件情况继续审理，以维护社会公共利益和法律秩序。
   • 若案件涉及刑事犯罪且已进入审判阶段：原告（被害人）的撤诉申请通常不影响法院对刑事案件的审理。法院会依据事实和法律对被告人作出有罪或无罪的判决。但被害人可以在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，要求被告人赔偿损失。若双方在此阶段达成和解，被害人可以撤回附带民事诉讼申请。

总结与建议：

• 双方纠纷和解后一方撤诉，公安机关的处理方式取决于案件所处的具体阶段和性质。
• 在治安调解阶段，和解并履行完毕后，公安机关不予处罚，案件终结。
• 在刑事立案但尚未审判阶段，若符合刑事和解条件，公安机关可能撤销案件或提出从宽处理建议。
• 在审判阶段，原告撤诉需经法院裁定准许，且不影响刑事案件的审理（若涉及刑事犯罪）。
• 建议当事人在和解过程中明确各自的权利义务，并保留好相关证据材料，以便在需要时维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。