老员工被厂里开除后一个月时间，仍然是可以提起劳动仲裁的。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

劳动仲裁的时效性

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。这意味着，从您被开除的那一刻起，您有一年的时间来提起劳动仲裁，以维护自己的合法权益。因此，被开除后一个月的时间，显然在仲裁时效期间内。

提起劳动仲裁的流程

1. 准备材料：您需要准备相关的证据材料，如劳动合同、工资单、开除通知等，以证明您与用人单位之间存在劳动关系，以及用人单位存在违法开除的行为。
2. 提交申请：向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，并决定是否受理。
3. 参与仲裁：如果仲裁委员会受理了您的申请，您将需要参与仲裁过程，包括出庭陈述、提供证据、接受质询等。
4. 等待裁决：仲裁委员会在审理完毕后，会作出裁决。如果裁决支持您的诉求，用人单位需要按照裁决结果履行相应的义务。

可能的法律后果

1. 如果用人单位违法开除：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。因此，如果您能够证明用人单位存在违法开除的行为，您有权要求用人单位支付相应的赔偿金。
2. 如果用人单位合法开除：如果用人单位能够证明其开除行为是合法的，比如您存在严重违反公司规章制度的行为，那么您可能无法获得赔偿金。但是，即使在这种情况下，您仍然有权通过劳动仲裁来维护自己的合法权益，比如要求用人单位支付未支付的工资、加班费等。

建议与提醒

1. 及时行动：虽然您有一年的时间来提起劳动仲裁，但是建议您尽早行动，以免因为时间拖延而影响证据的收集和案件的审理。
2. 寻求专业帮助：劳动仲裁涉及的法律问题可能比较复杂，如果您对此不太了解，建议您寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分维护。

如果您有任何关于劳动仲裁的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。