在私人单位工作了十多年，却因为一点小事被开除，您是有权利寻求法律救济的。针对您的情况，我将从以下几个角度进行分析：
一、劳动合同的解除与合法性
劳动合同的解除条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法依据，如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。若仅因“一点小事”就解除劳动合同，可能缺乏合法依据。
违法解除劳动合同的后果：
- 如果用人单位违法解除劳动合同，您有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据您在用人单位的工作年限和月工资来计算。
二、工作年限与经济补偿
工作年限的计算：
- 您在私人单位工作了十多年，这一工作年限将直接影响经济补偿金的计算。根据法律规定，经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
月工资的定义：
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向您支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向您支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、维权途径与建议
与用人单位协商：
- 首先，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解，如恢复劳动关系或获得合理的经济补偿。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关的证据材料，如劳动合同、工资单、解除劳动合同的通知等。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、注意事项
- 保留证据：在整个维权过程中，您需要保留好所有与用人单位相关的证据材料，如劳动合同、工资单、考勤记录、解除劳动合同的通知等。这些证据材料将对您维权起到至关重要的作用。
- 及时行动：劳动争议的仲裁时效为一年，自您知道或应当知道自己的权利被侵害之日起计算。因此，您需要及时采取行动，以免错过维权时机。
总结与建议：针对您因一点小事被开除的情况，我建议您首先与用人单位进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼。在整个过程中，您需要保留好所有相关的证据材料，并及时采取行动。如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问。