结论：母公司股权被冻结后，其对子公司股权进行抵押出质是否合法有效，需分情况讨论，主要取决于子公司股权是否属于母公司可自由支配的财产以及是否违反法律强制性规定或损害他人利益。
一、若子公司股权属于母公司可自由支配的财产，且未违反法律强制性规定或损害他人利益
法律背景：
- 根据《民法典》的相关规定，依法可以转让的股权可以出质。这意味着，只要母公司持有的子公司股权是依法可以转让的，且母公司对该股权拥有完整的处分权，那么该股权就可以作为出质的标的。
- 股权冻结主要限制的是被冻结股权的处分权，如转让、质押等，但这种限制通常只针对被冻结的股权本身，而不直接延伸至母公司持有的其他财产或权益。
合法性分析：
- 在母公司股权被冻结的情况下，如果母公司仍然拥有对子公司股权的完整处分权，且该股权的出质不会违反法律强制性规定或损害他人利益（如不损害其他债权人的利益），那么母公司对子公司股权进行抵押出质是合法有效的。
实践操作：
- 母公司在进行子公司股权出质时，应确保出质行为符合公司章程、股东协议等内部规定，并办理相关的登记手续，以确保出质的合法性和有效性。
二、若子公司股权不属于母公司可自由支配的财产，或违反法律强制性规定或损害他人利益
法律背景：
- 如果子公司股权的出质受到法律、行政法规的强制性规定限制，或者该出质行为会损害其他债权人的利益，那么该出质行为可能是无效的。
- 例如，如果母公司因债务问题被法院冻结了股权，且该冻结措施明确禁止了母公司对子公司股权的处分行为，那么母公司在此情况下对子公司股权进行抵押出质就是违法的。
合法性分析：
- 在这种情况下，母公司对子公司股权进行抵押出质不仅可能面临法律上的无效认定，还可能因此承担法律责任，如赔偿因出质行为给其他债权人造成的损失等。
实践操作与风险：
- 母公司应严格遵守法律、行政法规的强制性规定，以及法院等有权机关的冻结、查封等措施，避免在股权被冻结期间进行违法的处分行为。
- 如果母公司确实需要对其子公司股权进行抵押出质，应先与冻结机关（如法院）进行沟通，了解是否可以解除冻结或获得相关许可，以确保出质行为的合法性和有效性。
三、特殊情况下的考虑
- 法院执行中的特殊处理：在执行过程中，如果法院认为母公司对子公司股权的出质行为可能损害其他债权人的利益或违反法律强制性规定，法院有权采取相应的措施进行制止或撤销该出质行为。
- 子公司股权的权属争议：如果子公司股权存在权属争议或纠纷，那么母公司对该股权的处分权可能会受到限制或影响。在这种情况下，母公司对子公司股权进行抵押出质也可能面临法律上的风险和挑战。
建议：母公司在股权被冻结后，如果考虑对子公司股权进行抵押出质，应先咨询专业律师的意见，了解相关法律、行政法规的规定以及法院等有权机关的冻结、查封等措施的具体要求。同时，母公司还应确保出质行为符合公司章程、股东协议等内部规定，并办理相关的登记手续，以确保出质的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。