结论：母亲是否会被起诉，取决于她是否为分期付款合同的当事人或是否构成债务加入，以及债权人是否选择通过法律途径追讨剩余款项。
一、合同相对性原则
首先，从合同法的角度来看，分期付款购买手机的行为构成了一个买卖合同，其中购买者（即您的儿子）是合同的当事人，负有按照合同约定支付款项的义务。根据合同的相对性原则，合同的权利和义务仅对合同当事人产生效力。因此，如果母亲并非该分期付款合同的当事人，原则上她没有法律义务来偿还剩余的款项。
二、债务加入或第三人代为履行
然而，如果母亲在还款过程中，以书面形式或其他明确方式表示愿意加入该债务，成为共同债务人，或者债权人同意由母亲来替代儿子履行还款义务（即债务转移），那么母亲就可能成为债务人，需要承担还款责任。在这种情况下，如果母亲未履行还款义务，债权人确实有权通过法律途径起诉她。
另外，如果母亲只是代为儿子还款，而没有明确表示愿意加入债务或成为债务人，那么她的行为可能被视为第三人代为履行。在这种情况下，如果母亲停止代为还款，债权人通常只能向儿子追讨剩余款项，而不能直接起诉母亲。但值得注意的是，如果母亲的行为让债权人合理相信她有还款意愿或能力，并因此产生了信赖利益，那么在某些情况下，母亲也可能需要承担一定的法律责任。
三、债权人的选择
最后，是否起诉还取决于债权人的选择。债权人可以选择通过法律途径追讨剩余款项，也可以选择与债务人协商解决。如果债权人认为母亲有还款能力或愿意还款，并且起诉母亲更有可能追回款项，那么他们可能会选择起诉母亲。但如果债权人认为起诉母亲没有实际意义或成本过高，他们可能会选择不起诉。
四、建议
有问题可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。