结论：老人坐出租车下车后车子开走，老人自己摔倒的责任认定需根据具体情况分析，可能涉及老人自身责任、出租车司机责任或双方共同责任。

分析：

1. 老人自身责任：

   • 情况描述：如果老人在下车后，由于自身疏忽（如未站稳、未注意周围环境等）导致摔倒，且出租车司机在老人安全下车后正常行驶，未违反任何交通规则或未尽到合理的注意义务，那么老人可能需要承担自身摔倒的全部或主要责任。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此情况下，若老人自身存在过错，则需自行承担相应后果。

2. 出租车司机责任：

   • 情况描述：如果出租车司机在老人下车时未尽到合理的注意义务，如未提醒老人注意安全、未确保老人完全站稳后再行驶，或者因急刹车、突然启动等行为导致老人摔倒，那么出租车司机可能需要承担相应的责任。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，机动车驾驶人应当遵守道路交通安全法律、法规的规定，按照操作规范安全驾驶、文明驾驶。若出租车司机违反规定，导致老人摔倒，则需承担相应的法律责任。

3. 双方共同责任：

   • 情况描述：在某些情况下，老人和出租车司机可能都存在一定的过错。例如，老人可能因疏忽而未站稳，同时出租车司机也可能因未尽到充分的注意义务而加速行驶。在这种情况下，双方可能需要根据各自的过错程度承担相应的责任。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于共同侵权的规定，二人以上共同实施侵权行为，造成他人损害的，应当承担连带责任。但在此类事故中，更可能的是根据各自的过错程度按份承担责任。

建议与后果：

• 建议：在发生此类事故后，建议立即报警并联系保险公司。同时，尽量保留现场证据，如拍照、录像等，以便后续责任认定。若老人受伤严重，应及时就医并保存好医疗记录。
• 法律后果：根据责任认定结果，责任方可能需要承担医疗费用、护理费用、误工费用等经济损失的赔偿责任。若造成严重后果，如残疾或死亡，还可能涉及残疾赔偿金或死亡赔偿金的支付。

特殊情形处理：

• 保险理赔：如果出租车购买了相应的保险，如交强险或商业险，那么保险公司可能会在责任限额内进行赔偿。但具体赔偿金额和范围需根据保险合同条款和责任认定结果来确定。
• 调解与诉讼：若双方对责任认定或赔偿事宜无法达成一致，可以通过调解或诉讼等方式解决争议。在提起诉讼时，需准备齐全的证据材料，并注意诉讼时效。

总结：老人坐出租车下车后车子开走，老人自己摔倒的责任认定需根据具体情况分析。在处理此类事故时，建议立即报警、联系保险公司并保留现场证据。若对责任认定或赔偿事宜有争议，可以通过调解或诉讼等方式解决。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。