当您遭遇事故，且对方仅持有交强险而不愿意承担赔偿责任时，为了有效维护您的合法权益，您可以按照以下步骤来处理：

一、明确赔偿顺序与责任划分

首先，您需要了解交强险的赔偿范围。根据法律规定，对方车辆的交强险保险公司应在限额内（通常财产损失赔偿限额为2000元，医疗费用赔偿限额为1.8万元，死亡伤残赔偿限额为18万元）先行赔付。超出此限额的部分，理论上应由对方个人承担。因此，明确这一点对于后续的索赔工作至关重要。

二、全面收集并整理证据

1. 现场证据：在确保安全的前提下，尽可能拍摄事故现场的照片或视频，这些资料应包括车辆受损情况、事故发生的具体位置、周围环境以及交通标志等，以便后续还原事故现场。

2. 官方文件：务必获取交警部门出具的交通事故责任认定书，这是确定双方责任划分的关键依据。

3. 费用凭证：收集所有与事故相关的费用凭证，如车辆维修发票、维修清单、医疗费用发票、误工证明、交通费票据等，这些将是您索赔的重要依据。

三、积极尝试沟通与协商

1. 直接沟通：尝试以平和、理性的态度与对方沟通，明确说明事故责任及您的损失情况，提醒对方其应承担的赔偿责任，特别是交强险赔偿范围外的部分。

2. 第三方调解：若直接沟通无果，您可以请求交警部门或专业的人民调解委员会介入调解，以寻求一个双方都能接受的解决方案。

四、适时运用法律手段

1. 发送律师函：如果对方仍然拒绝赔偿，您可以考虑委托律师向对方发送正式律师函，利用其法律效力促使对方重视并回应您的赔偿要求。

2. 申请代位求偿：如果您的车辆投保了车损险，且对方拒绝赔偿，您可以向自己的保险公司申请代位求偿。保险公司将先行赔付您的损失，并代为向对方追偿。

3. 提起诉讼：若协商和调解均无法解决问题，您可以依法向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要准备充分的证据材料，包括起诉状、事故责任认定书、损失证明材料等，并积极参与庭审，争取法院作出公正的判决。

五、保持冷静与理性

在整个处理过程中，请务必保持冷静和理性，避免情绪化行为影响问题的解决。同时，严格保留所有与事故和赔偿相关的证据，确保在需要时能够有效维权。如果可能的话，寻求专业律师的全程指导与支持，以确保您的权益得到有效维护。

综上所述，面对对方仅有交强险且不愿赔偿的情况，您应首先明确赔偿顺序与责任划分，全面收集并整理证据，积极尝试沟通与协商，并适时运用法律手段来维护自己的合法权益。