针对您提出的问题，即大人教唆小孩打回去，对方家长不和解并追究责任，导致大人被拘留的情况，以下是我的详细分析和建议：
一、法律责任分析
教唆行为的法律责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，教唆他人实施侵权行为的，应当与行为人承担连带责任。这意味着，如果大人教唆小孩打人，且该行为导致了对方的人身伤害或财产损失，大人需要承担相应的法律责任。
- 若教唆行为构成犯罪（如故意伤害罪），则大人可能面临刑事处罚，包括拘留、有期徒刑等。
拘留的性质与后果：
- 拘留分为行政拘留和刑事拘留。行政拘留通常针对违反治安管理行为，期限较短；刑事拘留则是针对涉嫌犯罪的行为人，可能作为刑事诉讼的强制措施。
- 在您描述的情况下，大人被拘留很可能是刑事拘留，意味着其教唆行为可能涉嫌犯罪。
二、应对策略与建议
立即寻求法律帮助：
- 鉴于大人已被拘留，情况较为紧急，建议立即联系专业律师（如我本人，李可心律师，专注于合同纠纷、离婚财产纠纷、侵权纠纷等领域）进行法律咨询和代理。
- 律师将协助了解拘留的具体原因、性质及可能的法律后果，并制定相应的应对策略。
积极与对方家长沟通：
- 尽管对方家长目前不和解，但尝试通过沟通达成和解仍是一个值得尝试的途径。和解可能有助于减轻大人的法律责任，甚至避免刑事处罚。
- 可以委托律师作为中间人进行沟通，以更专业、客观的方式表达歉意和赔偿意愿。
准备赔偿与道歉：
- 如果对方家长同意和解，应准备相应的赔偿方案，包括医疗费用、精神损失费等。
- 同时，大人应向对方家长及小孩表示真诚的歉意，以体现诚意和悔过之心。
配合调查与诉讼：
- 在拘留期间，大人应配合警方的调查工作，如实陈述事实，避免提供虚假信息或隐瞒重要情节。
- 如果案件进入诉讼阶段，大人应委托律师进行辩护，以维护自己的合法权益。
三、可能的法律后果与预防措施
可能的法律后果：
- 根据教唆行为的严重程度和造成的后果，大人可能面临行政处罚、刑事处罚或民事赔偿等法律后果。
- 刑事处罚可能包括有期徒刑、拘役或罚金等；民事赔偿则可能涉及医疗费用、精神损失费、误工费等。
预防措施：
- 在日常生活中，应教育小孩遵守法律法规和道德规范，避免实施暴力行为。
- 遇到纠纷时，应通过合法途径解决，如协商、调解或诉讼等，避免采取过激行为。
综上所述，针对您描述的情况，我建议您立即联系专业律师进行法律咨询和代理，积极与对方家长沟通并尝试达成和解，同时准备赔偿与道歉方案。在拘留期间和后续诉讼过程中，应配合调查与诉讼工作，以维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。