当城市居民小区内出现业主养鸡扰民的情况时，这通常涉及多个部门的管理范畴，具体处理部门及方式如下：

一、城市管理部门（或市政管理部门）

• 职责范围：根据相关法规，如《城市市容和环境卫生管理条例》，城市管理部门负责监管在城市市区内饲养家畜家禽的行为，特别是当这些行为影响市容和环境卫生时。
• 处理方式：若接到居民投诉，城市管理部门会派员到现场核实情况，并根据法规对违规饲养行为进行劝导、警告或罚款等处理。

二、环保部门

• 职责范围：环保部门主要负责环境污染防治的监督管理。虽然家禽饲养本身不一定直接构成环境污染，但若因饲养产生的粪便、污水等未得到妥善处理，导致环境恶化，环保部门则有权介入。
• 处理方式：环保部门会对污染情况进行评估，并要求责任人采取相应措施进行整改，以减少对环境的影响。

三、物业管理公司

• 职责范围：作为小区的管理方，物业管理公司有责任维护小区的公共秩序和环境卫生。对于小区内养家禽扰民的问题，物业管理公司应首先进行劝阻和制止。
• 处理方式：物业管理公司会向违规业主发出整改通知，要求其限期处理家禽并清理相关污染物。若业主不配合，物业管理公司可向上级主管部门报告，并协助相关部门进行处理。

四、业主委员会与居委会

• 业主委员会：作为小区业主的自治组织，业主委员会负责维护小区的公共秩序和业主的合法权益。当小区内有明确的物业管理规定禁止饲养家禽，而养鸡业主违反此规定时，业主委员会可以依据管理规约对养鸡业主进行劝阻和制止。
• 居委会：居委会也承担小区管理的责任，有权协调处理小区内的矛盾和问题。当养鸡行为影响小区环境或居民生活时，居委会可以协助调解，促使养鸡业主采取措施减少干扰。

五、公安机关（在特定情况下）

• 职责范围：虽然公安机关主要负责社会治安管理，但在家禽饲养引发严重噪音扰民、邻里纠纷甚至治安案件时，公安机关也有权介入处理。
• 处理方式：公安机关会根据具体情况对当事人进行调解、警告或依法采取其他治安管理措施。

投诉建议

在投诉时，建议您提供详细的证据，如照片、视频或录音等，以支持您的投诉。这样有助于相关部门更准确地了解情况，并采取相应的处理措施。同时，如果对行政处罚决定不服，您可以依法申请复议或提起诉讼，以维护自己的合法权益。

综上所述，城市居民小区业主养鸡扰民的问题涉及多个部门的管理范畴。您可以根据实际情况选择向相关部门投诉，以维护小区的整洁与安静。