行政机关确实必须对履职申请进行处理，这是基于行政机关的法定职责和公民、法人或其他组织的合法权益保障。以下从不同角度对此问题进行详细分析：

一、行政机关的法定职责

行政机关作为国家权力的执行机关，承担着管理社会公共事务、维护社会秩序和保障公民权益的重要职责。当公民、法人或其他组织向行政机关提出履职申请时，行政机关有义务根据法律法规的规定，对申请进行审查并作出相应的处理。这种处理可能包括履行特定职责、提供公共服务或作出行政决定等。

二、公民、法人或其他组织的合法权益保障

公民、法人或其他组织向行政机关提出履职申请，往往是为了维护自身的合法权益或解决特定问题。如果行政机关不对这些申请进行处理，将可能导致申请人的合法权益无法得到保障，甚至可能引发社会矛盾和不稳定因素。因此，从保障公民、法人或其他组织合法权益的角度出发，行政机关也必须对履职申请进行处理。

三、行政机关不处理履职申请的法律后果

如果行政机关未依法对履职申请进行处理，可能面临以下法律后果：

1. 行政复议或行政诉讼：申请人可以向上一级行政机关申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼，要求行政机关履行法定职责。
2. 行政责任：行政机关及其工作人员可能因未依法履行职责而承担行政责任，包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等处分。
3. 国家赔偿：如果行政机关的违法行为给申请人造成了损失，申请人还有权依法要求国家赔偿。

四、特殊情况下的处理

当然，也存在一些特殊情况，如申请事项不属于行政机关的职责范围、申请事项明显违法或不合理等。在这些情况下，行政机关可以依法作出不予处理的决定，但应当向申请人说明理由，并告知其相应的救济途径。

五、建议与提醒

1. 明确申请内容：在向行政机关提出履职申请时，申请人应当明确申请的内容、目的和依据，以便行政机关能够准确理解和处理。
2. 保留相关证据：申请人应当保留与申请事项相关的证据材料，以便在需要时提供证明。
3. 及时跟进处理情况：申请人可以及时向行政机关了解处理情况，如果行政机关未依法处理，可以依法采取救济措施。

总结来看，行政机关必须对履职申请进行处理，这是其法定职责所在，也是保障公民、法人或其他组织合法权益的必要要求。如果行政机关未依法处理，申请人可以依法采取救济措施。如果您在行政法律方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。