针对奶茶店存放过期产品达2个月的情况，食品药品监管部门会依据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定进行处罚，具体如下：

1. 一般处罚原则：

   • 根据《食品安全法》第三十四条，禁止生产经营超过保质期的食品。奶茶店存放过期产品，属于违法行为。
   • 监管部门会责令奶茶店立即改正，即下架并销毁过期产品，防止其继续流入市场。

2. 具体处罚措施：

   • 罚款：根据《食品安全法》第一百二十四条，生产经营超过保质期的食品，尚不构成犯罪的，由县级以上人民政府食品安全监督管理部门没收违法所得和违法生产经营的食品，并可以没收用于违法生产经营的工具、设备、原料等物品；违法生产经营的食品货值金额不足一万元的，并处五万元以上十万元以下罚款；货值金额一万元以上的，并处货值金额十倍以上二十倍以下罚款。对于奶茶店存放过期产品2个月的情况，罚款金额将根据过期产品的货值金额来确定。
   • 情节严重时的处罚：如果奶茶店的行为情节严重，如多次违法、过期产品数量巨大或造成严重后果等，监管部门可能会吊销其许可证，即取消其从事食品生产经营活动的资格。

3. 其他可能的法律后果：

   • 民事责任：如果消费者因食用过期产品而受到损害，奶茶店可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿消费者的医疗费、误工费等损失。
   • 刑事责任：在极端情况下，如果奶茶店的行为构成犯罪，如生产、销售不符合安全标准的食品罪，那么相关责任人可能会面临刑事处罚。

建议：

• 奶茶店应立即下架并销毁所有过期产品，确保不再流入市场。
• 加强内部管理，建立严格的食品保质期检查制度，防止类似情况再次发生。
• 如果已经受到监管部门的处罚或面临消费者的索赔，应积极配合处理，并寻求专业法律帮助以降低损失。

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