结论前置：邻居毒死您家的狗，是否会被判刑，主要取决于狗的价值、投毒行为是否故意、是否危及公共安全以及证据是否确凿等多个因素。若满足相关条件，邻居可能面临刑事追诉。
一、民事侵权与赔偿责任
首先，从民事角度来看，狗作为您的私有财产，受到法律的保护。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，邻居因过错侵害您的财产权（即毒死您的狗），应承担侵权责任。您有权要求邻居赔偿狗的价值损失，赔偿金额通常依据狗的购买费用、市场价值等因素确定。
二、刑事责任的可能性
故意毁坏财物罪：
- 若被毒死的狗价值较高，达到当地关于故意毁坏财物罪的立案标准（一般不低于5000元，但具体标准可能因地区而异），且邻居出于故意将狗毒死，则邻居可能构成故意毁坏财物罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条的规定，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
投放危险物质罪：
- 如果邻居的投毒行为不仅毒死了狗，还对不特定多数人的生命、健康或重大公私财产安全造成威胁或损害，如在小区公共区域投放毒药，导致多只宠物狗中毒死亡，同时有可能危及居民安全，则邻居可能构成投放危险物质罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百一十四条、第一百一十五条的规定，投放危险物质罪尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑；若致人重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失，则可能面临十年以上有期徒刑、无期徒刑甚至死刑的严厉惩罚。
三、立案与报案流程
若您家的狗被邻居毒死，且符合上述刑事立案条件，您应立即报警，并告知公安机关相关情况和证据线索。在报案时，您需要尽可能提供以下证据：
- 狗的价值证明（如购买凭证、宠物市场同类犬价格参考等）。
- 邻居实施了投毒行为的证据（如监控录像、证人证言等）。
- 兽医出具的尸检报告，以确定狗的死亡原因。
四、特殊情况考虑
- 无证狗：若您的狗是无证狗，可能被视为非法物品，其受损由您自己承担，立案的可能性较小。但这一情况并不影响您要求邻居承担民事赔偿责任。
- 主人责任：若您在遛狗时没有牵绳子，导致狗乱跑并被毒死，您可能需要对未尽到看管义务承担一定责任。这可能会影响案件的最终处理结果，但并不影响邻居因故意毁坏财物或投放危险物质而应承担的刑事责任。
五、建议与行动
- 收集证据：在发现狗被毒死后，应立即收集现场照片、视频、目击证言等关键证据。
- 联系兽医：尽快联系兽医进行尸检，以确定狗的死亡原因。
- 报警并咨询：立即报警，并咨询专业律师（即我本人）以了解具体情况和报案流程。
综上所述，邻居毒死您家的狗是否会被判刑，取决于多个因素。若满足相关条件，邻居可能面临刑事追诉。因此，建议您在遇到此类情况时，及时收集证据并报警，同时咨询我以获取更专业的法律建议。