结论前置：员工做错事，老板能否开除以及是否合法，需根据错误的性质、严重程度，公司的规章制度以及《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来综合判断。在满足法定条件和遵循合法程序的前提下，老板可以开除员工；否则，可能构成违法解除劳动合同，需承担相应法律责任。
可以开除且无需支付补偿的情况
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，员工有下列情形之一的，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿：
严重违反用人单位的规章制度：这要求公司的规章制度必须合法有效，且员工已知晓。例如，员工多次无故旷工、严重违反操作规程导致安全事故、泄露公司商业机密等，均属于可开除且无需补偿的情形。但需注意，规章制度的内容不得违反法律法规的强制性规定，且制定程序需合法，如经过民主程序制定并向员工公示。
严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：员工在工作中因严重失职或营私舞弊行为，给公司造成重大经济损失或声誉损害的，公司有权解除劳动合同。例如，员工因疏忽大意导致公司资金流失、利用职务之便谋取私利等。
被依法追究刑事责任：员工如因犯罪行为被依法追究刑事责任的，公司有权解除劳动合同。
可以开除但需支付补偿的情况
若公司依据的规章制度存在瑕疵（如制定程序不合法、未向员工公示），或规章制度本身不合理、不明确，导致开除行为被认定为违法解除劳动合同的，公司需按《中华人民共和国劳动合同法》规定支付经济赔偿金。赔偿标准为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作年限确定，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
不可以开除的情况
员工错误较轻，未达到严重违反规章制度程度：例如，员工偶尔迟到一次，且公司无相关规定或该行为未达严重程度，公司不能以此为由开除员工。
公司无明确合理规章制度作为依据：若公司没有制定明确、合理的规章制度，或者规章制度未经过民主程序制定、未向员工公示，那么公司不能仅凭员工犯错就开除员工。
开除程序不合法：公司在开除员工时，必须遵循合法、公正、合理的原则，确保有充分证据支持开除决定，并给予员工申辩机会。同时，应确保规章制度合法有效，避免因程序不当或证据不足而引发法律纠纷。例如，未事先通知工会（如有）或未听取职工代表意见就开除员工，可能构成违法解除劳动合同。
其他纪律处分措施
对于未达到开除程度的错误行为，公司可考虑采取警告、罚款、降职等其他纪律处分措施，以纠正员工行为并避免法律风险。
法律建议：作为员工，如果认为公司开除自己的行为不合法，可以通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自身权益。作为公司，在开除员工时，必须严格遵守法律规定，确保实体和程序的双重合法性，避免因违法解除劳动合同而承担法律责任。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。