结论前置：
详细分析：
在离婚纠纷中，关于子女教育费的分担问题，通常会在离婚判决或调解书中作出明确规定。如果原判决或调解书已经明确规定了教育费由双方各承担一半，而对方现在拒绝履行这一义务，您完全有权通过法律途径来维护自己和子女的合法权益。
一、重新起诉的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果一方不履行生效法律文书确定的义务，另一方有权向人民法院申请执行。在您的案例中，如果原判决或调解书已经明确了教育费的分担方式，而对方不履行，您不仅可以申请强制执行，如果认为有必要，也可以考虑重新起诉（尽管在实际操作中，重新起诉可能并非最直接或高效的解决方式，因为执行程序通常更为直接），要求对方按照判决或调解书的规定支付教育费。但更常见且高效的做法是直接申请强制执行原判决或调解书。
二、重新起诉或申请执行的流程
准备材料：您需要准备原判决或调解书的复印件、对方不履行义务的证据（如对方拒绝支付教育费的书面证明、银行转账记录等）以及您的身份证明等材料。
提交申请：将准备好的材料提交给原判决或调解书作出的人民法院，申请强制执行或（在特定情况下）重新起诉。
法院审查：法院会对您的申请进行审查，如果符合法律规定，法院会受理您的申请，并通知对方履行义务。
执行或审理：如果申请强制执行，法院会采取相应的执行措施，如查封、扣押、冻结对方的财产等；如果重新起诉，法院会安排庭审，并根据庭审情况作出判决。
三、其他注意事项
沟通协商：在采取法律行动之前，您可以尝试与对方进行沟通协商，看是否能够达成和解。有时候，通过友好的沟通可以更快地解决问题。
保留证据：无论采取哪种方式解决问题，您都需要保留好相关证据，以便在需要时提供给法院。
法律咨询：如果您对法律程序或相关法律规定不熟悉，建议咨询专业律师（即向我咨询，我是林晏生律师，专注于婚姻家庭领域）以获取更详细的法律建议和指导。
四、特殊情况的处理
如果原判决或调解书没有明确规定教育费的具体金额或履行方式，而是只规定了“一人一半”的原则性条款，那么您可能需要先通过其他途径（如与对方协商、申请法院对具体金额进行裁定等）来确定具体的履行方式和金额。在这种情况下，重新起诉可能不是最直接的选择，而是需要先通过其他法律程序来明确双方的权利和义务。
总结与建议：
如果原判决或调解书已经明确规定了教育费的分担方式而对方不履行，您有权重新起诉（但更常见的是直接申请强制执行）要求对方履行义务。在采取法律行动之前，建议您先尝试与对方进行沟通协商，并保留好相关证据。如果您对法律程序或相关法律规定不熟悉，可以直接向我咨询以获取更详细的法律建议和指导。