在审判阶段，若出现影响定罪量刑的关键证据，其调取工作主要由人民法院负责。以下是关于这一问题的详细解答：

一、审判阶段证据调取的基本规定

在审判阶段，当事人及其辩护人、诉讼代理人有权向人民法院提出申请，要求法院帮忙调查、收集证据。这一规定旨在确保当事人能够充分维护自身权益，提供足够的证据来支持自己的诉求。

二、法院应调查收集证据的情形

根据法律规定，当出现以下情况时，人民法院必须进行证据调查收集：

1. 涉及可能损害国家利益、社会公共利益的情况：这类证据关乎整个社会的大层面利益，法院有责任进行调查收集。
2. 涉及身份关系：如亲子关系等，这类证据对于确定当事人的法律地位和权利义务至关重要。
3. 涉及公益诉讼：根据《民事诉讼法》第五十五条的规定，公益诉讼中的证据调取也是法院的职责之一。
4. 存在当事人恶意串通损害他人合法权益可能性的：为了防止当事人通过恶意串通来损害他人的合法权益，法院需要对此类证据进行调查收集。
5. 涉及程序性事项：如依职权追加当事人、中止诉讼、终结诉讼、回避等，这些程序性事项也需要法院进行证据调取。

三、影响定罪量刑证据的调取

在审判阶段，如果当事人及其辩护人、诉讼代理人认为存在影响定罪量刑的关键证据，但该证据由第三方保管或无法自行收集，他们可以向人民法院提出申请，要求法院帮忙调查、收集此证据。法院在审查申请后，如果认为该证据与待证事实有关联、对证明待证事实有意义且有调查收集必要，将会予以准许。

四、法院不予准许的情况

当然，如果当事人申请调查收集的证据与需要证明的事实没有关联，或者对证明事实没有意义，又或者存在其他没必要调查收集的情况，人民法院是不会准许的。这是为了保障司法的效率和公平，避免不必要的证据调取工作。

五、实例说明

以小何与小李的合同纠纷案为例，在审判阶段，小何及其辩护人认为某关键证据能证明小李存在违约行为，但该证据由第三方保管，他们无法自行收集。于是，小何及其辩护人向人民法院申请调查、收集此证据。如果法院审查后认为该证据与待证事实有关联、对证明待证事实有意义且有调查收集必要，将会予以准许。

综上所述，在审判阶段出现影响定罪量刑的证据时，主要由人民法院负责调取。当事人及其辩护人、诉讼代理人有权向法院提出申请，法院在审查后将根据情况决定是否准许。