核心前提与问题重述：
用户的核心问题是“大树树杈延伸至他人土地，应通过什么部门解决”，本质是相邻权纠纷中的“树木越界”问题，涉及土地使用权、物权保护及行政调解等法律关系。

结论前置：

1. 优先协商解决：建议先与土地权利人沟通，明确树杈是否造成实际损害（如遮挡阳光、破坏作物等），协商修剪或赔偿方案。
   
2. 行政调解途径：若协商不成，可向当地乡镇人民政府/街道办事处或自然资源与规划部门申请调解，依据《民法典》第288条（相邻关系处理原则）推动解决。
   
3. 司法救济途径：若调解无效，可向法院提起相邻权纠纷诉讼，要求对方停止侵害（如修剪树杈）、赔偿损失，或自行处理后主张费用。
   

详细分析：

一、法律关系定性

根据《民法典》第288-296条，不动产相邻权利人应遵循“有利生产、方便生活、团结互助、公平合理”原则处理相邻关系。树木越界属于典型的相邻权纠纷，具体可能涉及：

• 物权保护：土地权利人有权要求排除妨碍（如修剪树杈）；
  
• 损害赔偿：若树杈导致作物减产、房屋损坏等，可主张赔偿；
  
• 行政干预：部分地区将此类纠纷纳入基层治理范围，可通过行政调解快速解决。
  

二、解决部门与程序

1. 基层调解组织：

   • 乡镇人民政府/街道办事处：根据《人民调解法》，基层政府可设立调解委员会，免费调解民间纠纷，出具调解协议（具有民事合同效力）。
     
   • 村委会/居委会：若涉及农村土地，可先通过村集体组织协调，利用熟人社会关系降低解决成本。
     

2. 自然资源与规划部门：

   • 若树杈涉及林地、耕地等特殊用地，可向当地自然资源局反映，要求核查土地用途及树木权属，确认是否存在违法占用土地行为。
     

3. 司法途径：

   • 起诉条件：需证明树杈越界事实（如照片、测量记录）、损害后果（如作物损失证明）及因果关系。
     
   • 诉讼请求：可要求停止侵害（修剪/移除树杈）、恢复原状或赔偿损失。
     

三、实务建议

1. 固定证据：拍摄树杈越界照片、视频，记录越界范围及对土地使用的影响（如遮挡面积、作物受损情况）。
   
2. 书面通知：若协商，建议通过书面形式（如律师函、告知书）明确诉求，避免口头沟通无记录。
   
3. 成本权衡：若损害较小，可自行修剪（保留修剪前证据），后续主张费用；若损害重大，建议直接起诉。
   

总结：此类纠纷以协商和行政调解为主，司法是最终保障。建议优先通过基层组织低成本解决，若对方拒不配合，再启动法律程序。如有具体证据或纠纷细节，可进一步向我咨询，我将结合地方性法规提供更精准的建议。