面对无接触交通事故交警不出具责任认定书的情况，当事人应采取以下措施来维护自己的合法权益：
了解原因与主动沟通：
- 当事人首先应尝试了解交警未出具责任认定书的具体原因。无接触交通事故的责任认定可能因事故情况复杂、需要进一步调查取证（如检验车辆性能、核实证人证言等）或程序性问题导致延误。
- 主动与负责处理事故的交警部门进行沟通，礼貌询问责任认定书的出具进度，并尝试获取明确的处理时限。保留好沟通记录，如通话录音、短信或邮件等，以备后续使用。
法律依据与主张权利：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条，公安机关交通管理部门有义务及时制作交通事故认定书作为处理交通事故的证据。若交警部门超过规定时间仍未出具责任认定书，当事人有权主张自己的权利。
- 依据《道路交通事故处理程序规定》，当事人可以向该交警部门的上级机关或同级人民政府的法制部门提出行政复议，要求监督和纠正交警部门的不作为，并督促其在规定时间内依法出具责任认定书。复议申请应在知道具体行政行为之日起六十日内提出。
向上级部门反映与投诉：
- 如果与交警部门的沟通无果，当事人可以向交警所在地的交警大队、交警支队或公安局等上级部门进行反映。详细说明情况，并提供相关证据和沟通记录，要求他们督促交警尽快出具责任认定书。
- 同时，也可以向公安机关的督察部门或纪检监察部门投诉交警部门的不履职行为，寻求监督和督促其依法处理事故。
保留证据与寻求法律援助：
- 在整个过程中，当事人应特别注意保留现场照片、视频、证人证言、沟通记录等相关证据。这些证据在后续的责任认定以及可能的法律程序中至关重要。
- 若以上途径均无法解决问题，当事人可以寻求专业律师的帮助。作为专业律师，我可以提供专业的法律咨询，协助当事人与交警部门沟通，甚至在必要时提起诉讼以维护当事人的合法权益。
提起行政诉讼：
- 若行政复议未能有效解决问题，当事人还可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。请求法院判令交警部门依法履行职责，尽快出具交通事故责任认定书。注意诉讼时效，一般应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。
特殊情况下的处理建议：
- 如果事故情况特别复杂，涉及多方当事人或存在重大争议，交警部门可能需要更长时间进行调查取证。在这种情况下，当事人应保持耐心，并积极配合交警部门的工作，同时保留好相关证据。
- 如果交警部门存在明显的不作为或违法行为，当事人可以通过合法途径向相关部门进行举报或投诉，以维护自己的合法权益。
行动指南：
- 立即与交警部门沟通，了解未出具责任认定书的原因。
- 保留好所有与事故相关的证据和沟通记录。
- 如果沟通无果，及时向上级部门反映或投诉。
- 考虑寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
- 在必要时，提起行政复议或行政诉讼。
面对无接触交通事故交警不出具责任认定书的情况，当事人应保持冷静，积极采取措施了解原因、主动沟通、向上级部门反映、投诉与举报，并在必要时寻求法律援助和提起诉讼。同时，确保保留好相关证据以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。