刑事拘留37天遇国庆节，并不影响期限的截止，法律规定的期限是固定的，节假日并不顺延该期限的计算。以下从不同角度对此问题进行详细分析：
一、法律规定的期限计算
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，刑事诉讼中的期间以时、日、月计算，期间开始的时和日不算在期间以内。对于刑事拘留37天的情况，若期满之日为节假日，应当在节假日前最后一个工作日结束时期满。这意味着，即使37天届满日是节假日，公安机关等司法机关也需按规定及时作出相应处理，如提请检察院审查批准逮捕等。
二、公安机关的处理方式
提请批准逮捕：若公安机关认为需要逮捕被拘留人，应在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。若37天届满日恰逢节假日，公安机关仍需在节假日前最后一个工作日结束前，向检察院提请审查批准逮捕。
释放或变更强制措施：若检察院不批准逮捕，公安机关应当立即释放被拘留人，并发放释放证明。若37天内未作出逮捕决定，且不符合继续拘留的条件，公安机关也应立即释放被拘留人或变更强制措施，如取保候审或监视居住。
三、检察院的处理方式
检察院在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，应作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。这一期限同样不受节假日影响，检察院需在规定时间内作出决定，并及时通知公安机关。
四、对被拘留人的影响
对于被拘留人而言，无论37天届满日是否为节假日，其合法权益都应得到保障。若被错误刑事拘留，被拘留人有权向作出拘留决定的机关提出国家赔偿申请，要求对被错误限制人身自由期间给予相应赔偿。同时，相关办案机关应及时解除对被拘留人的强制措施，发放释放证明，并妥善处理案件相关材料，避免对当事人后续生活造成不必要影响。
五、实际操作中的注意事项
及时沟通：家属或被拘留人本人应及时与办案机关沟通，了解案件进展和拘留期限情况。
保留证据：若认为被错误拘留或存在其他违法行为，应及时保留相关证据，以便后续维权。
依法维权：若对办案机关的处理决定有异议，可依法通过申请复议、提起诉讼等途径维护自身合法权益。
如有任何关于刑事拘留或其他刑事案件的法律问题，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业、全面的法律建议。