是否需要再争取赔付，需结合具体情况判断，以下分情况说明：
若公司赔付的一个月工资已涵盖全部应得赔偿
- 在某些情况下，如双方协商一致且该赔付金额已涵盖您应得的工资、经济补偿金（如因公司原因解除劳动合同的补偿）等全部权益，那么您可能无需再进一步争取。但这种情况较为少见，因为通常公司赔付的一个月工资可能只是部分赔偿，尤其是当存在违法解除劳动合同、未支付加班费、未缴纳社保等情形时。
若公司赔付的一个月工资未涵盖全部应得赔偿
- 违法解除劳动合同：根据《劳动合同法》的相关规定，如果公司违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。经济补偿金按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。因此，如果公司仅赔付一个月工资，而您的工作年限超过半年，那么您显然有权要求更多的赔偿。
- 未支付加班费、未休年假工资等：如果公司存在未支付加班费、未休年假工资等违法行为，您也有权要求公司补发这些费用。这些费用并不包含在公司赔付的一个月工资内，因此您需要另行主张。
- 未缴纳社保或公积金：如果公司未为您缴纳社保或公积金，您还有权要求公司补缴或赔偿因此造成的损失。这同样不属于公司赔付的一个月工资的范畴。
法律建议：
- 核实赔付项目：首先，您需要核实公司赔付的一个月工资具体包含了哪些项目，是否涵盖了您应得的全部赔偿。
- 收集证据：如果公司赔付的金额不足，您需要收集相关证据，如劳动合同、工资条、加班记录、解除劳动合同的通知等，以证明您的权益受到了侵害。
- 与公司协商或申请劳动仲裁：在收集到足够证据后，您可以先尝试与公司协商，要求公司补足差额。如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
- 如果您选择不进一步争取，可能会放弃部分应得的赔偿，造成经济损失。
- 如果您选择通过法律途径维护自己的权益，且证据充分、理由正当，那么您有可能获得更多的赔偿。但同时，您也需要承担一定的诉讼风险和成本。
综上所述，是否需要再争取赔付取决于公司赔付的一个月工资是否已涵盖您应得的全部赔偿。如果未涵盖，建议您收集证据并与公司协商或申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。