在诉讼离婚阶段，将孩子丢给奶奶带是否违法，不能一概而论，需要分情况来看：

1. 若父母因合理原因暂时委托奶奶照顾 如果父母因工作、健康等合理原因，暂时无法亲自照顾孩子，而将孩子交由奶奶照顾，并且在照顾过程中，父母仍然积极履行抚养义务，如支付孩子的生活费用、关心孩子的成长状况、提供必要的教育等，这种行为通常不构成违法。因为父母并未完全放弃对孩子的抚养责任，只是暂时委托他人代为照顾。

2. 若父母长期不履行抚养义务，将孩子随意丢给奶奶 如果父母在诉讼离婚阶段，完全不顾孩子的生活需求、安全保障等，将孩子随意丢给奶奶，而自己长期不支付孩子的生活费用、不关心孩子的成长状况，甚至对孩子的身心健康造成严重影响，这种行为可能构成遗弃罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，将受到法律的制裁，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。

法律建议：

• 明确抚养责任：在诉讼离婚阶段，父母应明确各自的抚养责任，确保孩子得到充分的关爱和照顾。如果因特殊原因需要暂时委托他人照顾孩子，应与受托人签订书面协议，明确双方的权利和义务。
• 积极履行抚养义务：无论父母是否亲自照顾孩子，都应积极履行抚养义务，包括支付孩子的生活费用、关心孩子的成长状况、提供必要的教育等。这不仅是法律的要求，也是作为父母的基本责任。
• 寻求法律帮助：如果在诉讼离婚阶段遇到抚养纠纷问题，建议及时寻求法律帮助。律师可以根据具体情况，提供专业的法律意见和解决方案，帮助当事人维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

• 如果父母的行为构成遗弃罪，将面临法律的制裁，包括有期徒刑、拘役或者管制等。
• 如果父母的行为未构成遗弃罪，但违反了民法典和未成年人保护法的相关精神，可能受到社会舆论的谴责，并在离婚诉讼中承担不利的法律后果，如影响抚养权的判决等。

总之，在诉讼离婚阶段，父母应认真对待孩子的抚养问题，确保孩子得到充分的关爱和照顾。如果有任何疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。