在交通事故中，若患者未出院时私了且医疗费未完全支付，而救助基金进行了垫付，那么通常情况下，这笔垫付的费用应由道路交通事故的责任人来偿还。以下是对此问题的详细分析：

一、责任人明确的情况

1. 责任人偿还：如果事故责任人能够明确，那么救助基金就有权利向其追讨之前垫付的费用。这是基于“谁造成事故，谁承担责任”的基本原则。
2. 追讨程序：救助基金管理机构会按照相关法律法规和程序，向责任人发出追讨通知，要求其在规定期限内偿还垫付的费用。

二、责任人无法确定或无力赔偿的情况

1. 交强险偿还：如果责任人暂时无法确定，或者是没有能力进行赔偿，那么根据相关规定，在事故车辆的交强险保险限额范围之内，由保险公司在一定的期限过后对救助基金进行偿还。这是为了保障救助基金的可持续性和公平性。
2. 保险公司责任：保险公司作为交强险的承保方，有义务在责任人无法赔偿的情况下，按照法律规定和合同约定，对救助基金进行偿还。

三、涉及多方法律关系的情况

1. 法律法规依据：如果涉及到道路交通事故社会救助基金管理机构与机动车道路交通事故责任强制保险的保险公司之间的法律关系，那么可以依据《机动车交通事故责任强制保险条例》等一系列的法律法规来进行处理。
2. 法律程序：在这种情况下，可能需要通过法律程序来明确各方的权利和义务，确保救助基金的垫付费用能够得到合理、合法的偿还。

四、实际操作中的注意事项

1. 证据收集：在追讨垫付费用时，救助基金管理机构需要收集充分的证据，如事故认定书、医疗费用清单、垫付凭证等，以证明其垫付费用的合理性和必要性。
2. 法律程序遵循：在追讨过程中，必须严格遵循相关法律法规和程序，确保追讨行为的合法性和有效性。
3. 协商与调解：在可能的情况下，可以尝试与责任人或保险公司进行协商和调解，以达成和解协议，快速解决垫付费用的偿还问题。

建议：在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，遵循法律法规和程序，确保自身权益得到保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。