员工每天迟到半小时，公司是否可以合法辞退，需结合具体情况和公司规章制度来判断，且未签订劳动合同的情况也会影响辞退的合法性和赔偿问题。以下从不同角度为您详细分析：
一、公司规章制度的角度
规章制度明确且合法：
- 若公司有明确且合法的规章制度，其中对员工迟到情形及相应处罚有清晰规定，如明确多次迟到（包括每天迟到半小时）属于严重违反公司规章制度，且该规章制度是通过民主程序制定，已向员工公示或告知，那么公司依据此规章制度辞退员工，通常是合法的。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
规章制度不明确或未公示：
- 如果公司没有相关规章制度，或者规章制度的制定未遵循民主程序、未向员工公示，那么公司以员工每天迟到半小时为由辞退员工，可能被认定为违法解除劳动合同。
- 后果：在此情况下，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
二、未签订劳动合同的角度
未签订劳动合同的法律后果：
- 自用工之日起超过一个月不满一年未与员工订立书面劳动合同的，公司应向员工每月支付二倍工资。支付时长从用工第二个月开始，最长为十一个月。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
未签订劳动合同对辞退的影响：
- 未签订劳动合同本身并不直接决定公司能否合法辞退员工，但会影响辞退后的赔偿问题。若公司违法辞退员工，且未签订劳动合同，员工在要求赔偿时，除了可以主张违法解除劳动合同的赔偿金外，还可以主张未签订劳动合同的双倍工资差额。
三、实际操作建议
完善规章制度：
- 公司应制定明确的考勤制度，规定迟到的定义、次数限制及相应的处罚措施，并确保规章制度经过民主程序制定，向员工公示或告知。
加强沟通与警告：
- 在辞退前，公司应尝试通过沟通、警告等方式解决问题，了解员工迟到的原因，并提供必要的支持或调整工作时间等。
收集证据与遵循程序：
- 若决定辞退，公司应收集充分证据证明员工严重违反规章制度，并遵循法定程序，包括通知工会（如有）、出具书面解除劳动合同通知书等。
员工维权途径：
- 若员工认为公司违法辞退，可以与公司协商赔偿事宜；协商不成，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自身合法权益。
举例说明：假设某公司规章制度明确规定，员工每月迟到超过3次即构成严重违反规章制度，公司有权解除劳动合同。若某员工每天迟到半小时，且该规章制度已向员工公示，那么公司依据此规章制度辞退该员工是合法的。但若公司没有相关规章制度，或者规章制度未向员工公示，那么公司辞退该员工可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金。
总结与建议：公司能否合法辞退每天迟到半小时的员工，取决于公司规章制度是否明确且合法、员工迟到行为是否构成严重违反规章制度等因素。同时，未签订劳动合同会影响辞退后的赔偿问题。因此，建议公司完善规章制度、加强沟通与警告、收集证据与遵循程序；员工若认为公司违法辞退，应积极通过协商、投诉或仲裁等途径维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。