结论：在轿车超车撞了路边人，责任方想私了的情况下，建议首先确认事故责任划分，再根据实际情况决定是否接受私了，并签订书面协议以确保权益。

1. 确认事故责任划分

• 在私了之前，必须明确事故责任。这通常由交警部门根据现场勘查、证人证言等证据进行认定。如果责任方确实存在过错，如超车不当导致事故，那么其应承担相应的赔偿责任。
• 如果对交警的责任认定有异议，可以在规定时间内申请复核，但在此期间，建议保持冷静，不要急于私了，以免后续产生纠纷。

2. 私了的考虑因素

• 伤势情况：虽然目前检查费仅五百元，且“没什么多大事”，但应关注受伤者的后续恢复情况。如果伤势出现恶化或需要进一步治疗，私了金额可能不足以覆盖全部费用。
• 私了金额：双方应就赔偿金额进行充分协商。除了检查费外，还应考虑可能的误工费、交通费等其他损失。确保赔偿金额合理且双方都能接受。
• 书面协议：如果决定私了，务必签订书面协议。协议中应明确双方信息、事故经过、责任划分、赔偿金额及支付方式等关键条款。这有助于避免后续因口头约定不清而产生的纠纷。

3. 私了后的注意事项

• 保留证据：即使选择私了，也应保留好相关证据，如医疗记录、费用发票、事故现场照片等。这些证据在后续可能出现的纠纷中起到关键作用。
• 法律后果：私了并不意味着完全摆脱了法律责任。如果后续发现伤势严重或存在其他未预见的问题，受伤者仍有权通过法律途径追究责任方的责任。因此，在私了前应充分评估风险。

4. 不接受私了的情况

• 如果对责任划分有异议，或者认为私了金额无法覆盖全部损失，可以选择不接受私了，而是通过法律途径解决纠纷。
• 在这种情况下，可以等待交警部门出具正式的事故责任认定书，然后根据认定书的结果向法院提起诉讼，要求责任方承担相应的赔偿责任。

5. 法律建议

• 在处理此类事故时，建议保持冷静和理性，不要因情绪激动而做出冲动的决定。
• 如果对法律程序不熟悉或担心自身权益无法得到保障，可以寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助更好地维护自身权益。

如果有任何关于交通运输事故责任的法律问题，可以直接向我咨询。