在公司重整程序开始后，对于民事诉讼的处理，确实需要遵循一系列特定的规则和程序，以确保公司重整的顺利进行，同时保障民事诉讼当事人的合法权益。以下是对这一问题的详细解答：

一、已提起的民事诉讼

1. 暂时中止：在公司重整期间，对于已经提起但尚未终结的民事诉讼，一般会暂时中止。这是为了避免民事诉讼的进行对公司重整的进程造成干扰和阻碍。在重整期间，公司的经营和财务状况处于不稳定状态，需要集中精力进行重整计划的制定和实施，民事诉讼的进行可能会分散资源和注意力。

2. 继续进行的例外：然而，并非所有的民事诉讼都会被立即中止。一些与重整密切相关的诉讼，如债权人对重整计划的异议之诉等，可能会继续进行。这些诉讼对于重整的顺利进行具有重要的影响，需要及时解决。

3. 管理人接管后的继续：待管理人接管债务人财产后，之前中止的诉讼可以继续进行。管理人接管前，诉讼程序无法正常推进，以确保管理人能全面掌握情况、更好地代表债务人参与诉讼。

二、新的民事诉讼

1. 申报债权主张权利：在公司重整期间，如果涉及债务人的新诉讼，债权人通常需要通过申报债权的方式主张权利，而非直接提起新的诉讼。若直接起诉，法院通常不予受理。

2. 法院审查与处理：对于新的民事诉讼，法院会根据具体情况进行审查和处理。如果新的民事诉讼与重整计划的制定和实施没有直接关系，一般也会暂时中止；如果与重整密切相关，法院会根据具体情况决定是否继续进行。

三、涉及债务人财产的个别清偿诉讼

在重整期间，涉及债务人财产的个别清偿诉讼，法院一般不予支持。因为重整旨在让企业整体恢复经营能力，避免个别债权人通过诉讼获得单独清偿，影响其他债权人利益和重整计划实施。

四、重整计划执行期间的纠纷解决

在重整计划执行期间，因重整计划执行所产生的纠纷，应按照重整计划规定的方式解决；若重整计划未规定，当事人可通过协商、仲裁或诉讼等途径解决。

五、特殊情况的处理

1. 重整程序终结后的起诉：重整程序终结后，债权人通常可以起诉保证人。如果债权人在重整程序中未获全部清偿，当重整程序终结后，对于未受清偿的部分，债权人可依据保证合同向保证人主张权利。

2. 保证期间与证据：债权人起诉保证人需在保证期间内进行，并提供充分证据证明保证关系的存在、债务未获清偿的事实等。

六、总结与建议

在公司重整期间，民事诉讼的处理需要综合考虑各种因素，既要保障民事诉讼当事人的合法权益，又要确保公司重整的顺利进行。法院会根据具体情况，灵活运用相关的法律规定和程序，做出合理的裁决。

建议：

• 如果您是民事诉讼的当事人，且诉讼涉及的公司正在进行重整，建议您及时与法院和管理人沟通，了解诉讼的进展情况和可能的影响。
• 如果您是公司的债权人或相关利益方，建议您密切关注公司的重整进程，及时申报债权，并参与重整计划的制定和表决，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，建议您咨询专业的法律人士，以获取更具体、更专业的法律建议。