监事会起诉董事会，通常是以公司的名义进行的。以下是对此问题的详细分析：
一、监事会的职责与诉讼权利
监事会作为公司的监督机构，其核心职责是监督公司董事、高级管理人员的行为，确保他们遵守法律、行政法规和公司章程，维护公司的利益。当监事会发现董事会或其成员有违法行为，或者其行为损害了公司利益时，监事会有权采取行动，包括提起诉讼。
二、以公司名义起诉董事会的情形
董事、高管违法行为：根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，如果董事、高级管理人员在执行公司职务时违反法律、行政法规或公司章程，给公司造成损失，监事会可以代表公司向人民法院提起诉讼，要求相关责任人承担赔偿责任。这种情况下，监事会是以公司的名义起诉董事会的。
维护公司利益：监事会作为公司的监督机构，有义务维护公司的整体利益。当董事会的行为或决策损害了公司利益，且内部程序无法解决时，监事会可以依法以公司的名义提起诉讼，以纠正违法行为，挽回公司损失。
三、监事会起诉董事会的程序与要求
内部程序：在提起诉讼前，监事会通常需要先履行内部程序，如向董事会或股东大会报告情况，并请求公司采取必要措施。这是为了确保诉讼的正当性和合理性，避免滥用诉权。
法律程序：如果内部程序无法解决问题，监事会可以依法向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，监事会需要提供充分的证据证明董事会的行为或决策损害了公司利益，以及这种损害与董事会行为之间的因果关系。
四、注意事项与法律责任
谨慎行使诉讼权利：监事会在行使诉讼权利时，应确保诉讼的正当性和合理性。滥用诉权或恶意提起诉讼可能会面临相应的法律责任，包括赔偿损失、承担诉讼费用等。
遵守法律程序：监事会在提起诉讼时，应严格遵守法律程序，确保诉讼的合法性和有效性。这包括选择正确的管辖法院、提交充分的证据材料、遵守诉讼时效等。
建议：如果监事会认为董事会的行为或决策损害了公司利益，且内部程序无法解决时，应及时咨询专业律师，了解具体的诉讼程序和要求，以便更好地维护公司的合法权益。如果有具体案例或进一步的问题，也可以直接向我咨询。