核心结论：私生子（非婚生子女）的抚养问题不能简单通过协商直接送至福利院，需根据法律程序和子女权益综合处理。以下是具体分析：

1. 法律对非婚生子女的保护

根据《民法典》第1071条，非婚生子女与婚生子女享有同等权利，父母均负有抚养义务。父母不得以“非婚生”为由拒绝抚养，否则可能构成遗弃罪（刑法第261条），需承担刑事责任。

2. 福利院接收的法定条件

福利院（儿童福利机构）仅接收孤儿、查找不到生父母的弃婴或儿童（《儿童福利机构管理办法》第5条）。若父母健在且具备抚养能力，直接将子女送至福利院属于违法弃养，可能面临行政处罚或刑事追责。

3. 协商与法律程序的结合

若父母确实无力抚养（如经济困难、疾病等），需通过以下合法途径处理：

• 协商变更抚养权：父母可协商由一方抚养，或委托其他亲属代为抚养，但需签订书面协议并确保子女权益。
• 申请社会救助：向当地民政部门申请临时救助、低保等，缓解经济压力。
• 通过法院变更抚养关系：若一方无法履行抚养义务，另一方可起诉至法院，要求变更抚养权或要求对方支付抚养费。

4. 特殊情况处理

若父母存在严重伤害子女行为（如虐待、遗弃），可由近亲属、居委会或公安机关向法院申请撤销监护人资格，并指定其他监护人或由民政部门担任监护人（《民法典》第36条）。此时，子女可能被安置至福利院，但需经法律程序认定。

5. 建议行动步骤

1. 评估抚养能力：父母需诚实评估自身经济、健康状况，确认是否真的无法抚养。
2. 协商解决方案：优先通过家庭内部协商或亲属帮助解决抚养问题。
3. 寻求法律援助：若协商无果，可向当地司法局申请法律援助，或直接起诉要求对方履行抚养义务。
4. 避免违法弃养：切勿私自将子女送至福利院，否则可能面临法律风险。

总结：非婚生子女的抚养问题需以子女权益为核心，通过合法途径解决。若您面临具体困难，可进一步说明情况，我将为您提供更详细的法律方案。