可以报警。针对您描述的情况，即父亲经常教唆孩子拿刀砍妈妈，这涉及到严重的家庭暴力和教唆犯罪问题，以下是从法律角度的详细分析：
一、法律定性
家庭暴力：根据《中华人民共和国反家庭暴力法》的相关规定，家庭暴力是指家庭成员之间以殴打、捆绑、残害、限制人身自由以及经常性谩骂、恐吓等方式实施的身体、精神等侵害行为。您所描述的情况，如果父亲有实际教唆孩子实施暴力行为，或者孩子因此受到伤害，那么这很可能构成家庭暴力。
教唆犯罪：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。如果父亲教唆孩子拿刀砍妈妈，且孩子实施了该行为，那么父亲可能构成教唆犯罪，需要承担相应的刑事责任。
二、报警与立案
报警权利：无论是否有直接证据，您都有权向公安机关报警。报警是维护自身权益的第一步，也是启动法律程序的重要途径。在报警时，您应尽可能详细地描述事情经过，包括时间、地点、人物、行为等，以便公安机关能够迅速展开调查。
立案条件：虽然报警是您的权利，但立案则需要满足一定的法律条件。公安机关在接到报警后，会进行初步调查，如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，会予以立案。在这个过程中，您可能需要提供一些证据或线索，如目击者证言、现场照片、视频等。
调查取证：公安机关在立案后，会进行深入的调查取证工作。这包括收集现场证据、询问当事人和证人、进行技术鉴定等。在调查过程中，公安机关会尽力收集能够证明父亲教唆犯罪和孩子实施暴力行为的证据。
三、法律责任与处罚
刑事责任：如果父亲教唆孩子拿刀砍妈妈的行为构成犯罪，如故意伤害罪或教唆犯罪等，那么父亲将承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。对于教唆犯罪，也会根据其在共同犯罪中所起的作用进行处罚。
民事责任：除了刑事责任外，父亲还可能承担民事责任。如果母亲因此受到身体伤害或精神损害，她可以向法院提起民事诉讼，要求父亲承担赔偿责任。这包括医疗费、护理费、交通费、误工费等实际损失，以及精神损害抚慰金等。
四、建议与注意事项
保留证据：在报警前和报警过程中，您应尽可能收集并保留与父亲教唆犯罪和孩子实施暴力行为相关的证据。这包括现场照片、视频、目击者证言、医疗记录等。这些证据对于案件的处理至关重要。
及时报警：一旦发现父亲有教唆孩子拿刀砍妈妈的行为，您应尽快向公安机关报警。拖延时间可能会导致证据灭失或难以收集，从而影响案件的立案和侦查。
寻求帮助：在处理此类问题时，您可以向所在单位、妇联、社区等组织寻求帮助和支持。这些组织可以提供法律咨询、心理辅导、临时庇护等方面的服务，帮助您和母亲度过难关。
总结来说，针对您描述的情况，您可以立即向公安机关报警。公安机关会依法进行调查取证，并根据调查结果决定是否立案。如果父亲的行为构成犯罪，他将承担相应的刑事责任和民事责任。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。