对于确认劳动关系非终局裁决，公司可以向法院起诉的次数，一般情况下为两次，但在特定条件下可能涉及再审程序。具体分析如下：
一审起诉：
- 当公司对劳动仲裁委员会作出的非终局裁决不服时，它有权在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这是一审起诉，是公司对仲裁结果不满后的首次法律救济途径。
二审上诉：
- 如果公司对一审法院的判决结果不满意，它还有权在法定上诉期内（通常是判决书送达之日起十五日内）向上一级法院提起上诉，启动二审程序。二审是终审，意味着二审法院的判决是最终判决，公司不能就同一劳动争议基于相同事实和理由再次起诉。
再审申请：
- 尽管二审是终审，但在某些特定条件下，如存在新证据能推翻原判、原判法律适用错误等法定再审情况，公司也可以依法申请再审。不过，再审有严格的法定条件和程序限制，不是所有案件都能进入再审程序。
法律背景与建议：
- 劳动争议实行“一裁两审”制，即先经过劳动仲裁，对仲裁结果不服的可以向法院起诉，一审不服的可以上诉至二审。这是为了保障当事人的诉讼权利，同时确保司法资源的合理利用。
- 对于公司而言，在收到仲裁裁决书后，应仔细评估裁决结果，并在法定期限内决定是否提起诉讼或上诉。如果决定提起诉讼或上诉，应准备充分的证据和法律依据，以支持自己的主张。
- 如果公司对一审或二审判决结果仍有异议，且符合再审条件，可以考虑申请再审。但再审程序复杂且严格，公司应谨慎对待，并在专业律师的指导下进行。
可能的法律后果：
- 如果公司未在法定期限内提起诉讼或上诉，将丧失相应的诉讼权利，仲裁裁决或一审判决将生效。
- 如果公司提起诉讼或上诉后败诉，可能需要承担相应的法律责任，如支付工资、经济补偿等。
- 如果公司滥用诉讼权利，如恶意提起诉讼或上诉以拖延时间，可能会面临法院的处罚或对方的反诉。
因此，建议公司在处理劳动争议时，应充分了解自己的诉讼权利和义务，并在专业律师的指导下进行诉讼活动。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。