针对您提出的“未婚1岁和2岁孩子监外执行没人带怎么办理”的问题，这实际上涉及到了两个核心方面：一是孩子作为事实无人抚养儿童的认定与保障，二是监外执行期间孩子的抚养问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、孩子作为事实无人抚养儿童的认定与保障
根据郎溪县民政局发布的信息，事实无人抚养儿童是指父母双方或一方存在特定情形（如重残、重病、服刑在押等），导致未成年人无人抚养的情况。在您的情况下，如果孩子的父亲因监外执行而无法履行抚养责任，且母亲也因某种原因（如未婚且可能不具备抚养条件）无法直接抚养，那么孩子可能符合事实无人抚养儿童的认定条件。
申请流程：
- 准备材料：包括孩子的身份证明、父母的身份证明及无法履行抚养责任的相关证明（如父亲的监外执行证明、母亲无法抚养的说明等）。
- 提交申请：将准备好的材料提交至当地民政局或指定的社会事务综合窗口。
- 审核与认定：民政局会对提交的材料进行审核，并根据实际情况认定孩子是否为事实无人抚养儿童。
- 发放补贴：一旦认定，民政局会按照当地的标准发放基本生活补贴，以保障孩子的基本生活需求。
二、监外执行期间孩子的抚养问题
在监外执行期间，孩子的抚养问题需要得到妥善解决。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年子女的监护人，双方平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利。然而，在监外执行的情况下，父亲可能无法直接履行抚养责任。
解决方案：
- 协商抚养：首先，您可以尝试与孩子的母亲或其他亲属协商，看是否能够由他们来抚养孩子。如果协商成功，可以签订抚养协议，明确抚养责任和义务。
- 申请变更监护权：如果母亲或其他亲属无法抚养孩子，您可以考虑向法院申请变更监护权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，法院可以参照离婚后子女抚养的有关规定，暂时确定未成年子女的抚养事宜。
- 寻求社会帮助：如果以上两种方案都不可行，您可以向当地的社会福利机构或儿童保护组织寻求帮助。他们可能会提供临时抚养、寄养或收养等服务，以确保孩子得到妥善的照顾。
三、综合建议
- 及时申请认定：尽快向当地民政局申请认定孩子为事实无人抚养儿童，以便获得基本生活补贴。
- 积极协商抚养：与孩子的母亲或其他亲属积极协商抚养问题，争取达成共识。
- 寻求法律援助：如果抚养问题无法得到妥善解决，您可以考虑寻求法律援助，通过法律途径来维护孩子的权益。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。