当法院已经判决要求对方赔礼道歉，但对方仍然拒不履行时，您可以依据相关法律法规采取一系列措施来维护自己的合法权益。以下是一些具体的法律后果和应对措施：

一、强制执行措施

1. 公告、登报等方式公开道歉

   • 根据相关法律规定，人民法院在判决侵权人承担赔礼道歉等民事责任时，有权采取在报刊、网络等媒体上发布公告或者公布生效裁判文书等方式来执行。
   • 如果侵权人拒不履行，人民法院可以进一步采取在网络上发布公告或者公布裁判文书等合理方式，由此产生的费用将由侵权人承担。

2. 支付迟延履行金

   • 如果被执行人未按判决指定的期间履行非金钱给付义务（如赔礼道歉），则应当支付迟延履行金。
   • 迟延履行金的计算方式可能因地区而异，但通常会与未履行期间和一定的利率或标准挂钩，以补偿因对方迟延履行而给您带来的损失。

3. 罚款、拘留

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，诉讼参与人或者其他人拒不履行人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的，人民法院可以根据情节轻重予以罚款、拘留。
   • 罚款的金额和拘留的期限将由人民法院根据具体情况决定，以体现法律的严肃性和权威性。

4. 纳入失信被执行人名单

   • 如果被执行人有能力履行而拒不履行法院判决，那么其可能会被纳入失信被执行人名单。
   • 这将对被执行人的信用记录产生严重影响，限制其高消费、贷款、担任企业高管等行为，从而对其形成有效的信用约束。

二、刑事责任风险

• 在极端情况下，如果被执行人拒不执行法院判决的行为构成犯罪（如拒不执行判决、裁定罪），则可能面临刑事追责。
• 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，将处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，将处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

应对建议

1. 及时向法院申请强制执行：在判决生效后，如果对方拒不履行赔礼道歉的义务，您应及时向法院申请强制执行，以维护自己的合法权益。
2. 保留相关证据：在申请强制执行的过程中，您应保留好相关证据，如判决书、执行申请书等，以便在需要时提供给法院。
3. 咨询专业律师：如果您对强制执行程序或相关法律法规不熟悉，可以咨询专业律师以获取更详细的法律建议和帮助。

综上所述，当法院判决要求赔礼道歉而对方拒不履行时，您可以通过强制执行措施、要求支付迟延履行金、申请罚款或拘留以及纳入失信被执行人名单等方式来维护自己的合法权益。同时，在极端情况下，对方还可能面临刑事责任的风险。