当债权人只起诉连带责任担保人时，法院的处理方式通常遵循以下步骤和原则：
一、法院受理与判决原则
受理条件：
- 债权人需与本案有直接利害关系，即作为保证合同中的权利主体。
- 需有明确的被告，即连带责任担保人的身份信息需清晰确定。
- 需有具体的诉讼请求和事实、理由，如明确要求担保人承担的保证责任金额及依据的事实。
- 案件需属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
判决原则：
- 法院一般会受理此类案件，并可直接判决连带责任担保人承担保证责任。因为连带责任担保人承担的是连带清偿责任，债权人有权选择只向其主张权利。
- 判决会明确担保人需向债权人偿还的具体债务数目，包括本金和利息等。
二、担保人责任范围与追偿权
责任范围：
- 担保人需按照保证合同约定，对主债务人应履行的债务承担连带清偿义务。
- 若保证合同对保证范围有明确约定（如包含主债权、利息、违约金、损害赔偿金和实现债权的费用等），担保人需在该约定范围内承担责任。
- 若保证合同对保证范围无约定或约定不明，担保人则需对全部债务承担责任。
追偿权：
- 担保人在承担保证责任后，有权向主债务人进行追偿，要求主债务人补偿其代偿的款项。
三、执行顺序与特殊情况处理
执行顺序：
- 若债务人有财产可供执行，法院在执行时可先执行债务人的财产，不足部分再由连带责任担保人承担。
- 若债务人无财产可供执行，债权人可直接要求连带责任担保人承担全部债务。
特殊情况处理：
- 若主债务已过诉讼时效，担保人能以此抗辩不承担保证责任。
- 若主债务存在可撤销、无效等情形，担保人在相应范围内免责。
- 法院在审理过程中会核实保证合同的有效性及保证责任范围，若保证合同合法有效，担保人需承担相应保证责任。
四、法律依据与判决依据
法律依据：
- 主要依据《民法典》中关于连带责任保证的规定，即债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的情形时，债权人可以请求债务人履行债务，也可以请求保证人在其保证范围内承担保证责任。
判决依据：
- 保证合同是重要判决依据，明确保证人的保证范围、保证期间等内容。
- 债权人需提供证据证明主债务的存在及到期未履行的事实，以及证明保证关系存在的证据。
综上所述，当债权人只起诉连带责任担保人时，法院会全面审查案件情况，包括保证合同的有效性、保证责任范围、主债务的存在及履行情况等，并依据相关法律法规作出判决。担保人需按照判决承担相应责任，并在承担责任后享有对债务人的追偿权。